Funzione valore assoluto
$f(x) = ||x+1|-x|$
Devo determinare i punti di non derivabilità con relativa derivata destra e sinistra.
Ammetto di avere una lacuna per quanto riguarda la funzione valore assoluto.
Apparte tutto il relativo sistema per i vari valori che assume x, devo considerare la funzione come se fosse $(x+1)(-x)$ o $(x+1)-x$ ?
Da questo naturamente dipende tutta la derivata!
Devo determinare i punti di non derivabilità con relativa derivata destra e sinistra.
Ammetto di avere una lacuna per quanto riguarda la funzione valore assoluto.
Apparte tutto il relativo sistema per i vari valori che assume x, devo considerare la funzione come se fosse $(x+1)(-x)$ o $(x+1)-x$ ?
Da questo naturamente dipende tutta la derivata!
Risposte
Innanzitutto devi eliminare i valori assoluti impostando e risolvendo un po' di disequazioni.
Una volta che hai scritto esplicitamente l'assegnazione di $f$ puoi capire facilmente dove si trovano i punti di non derivabilità.
Una volta che hai scritto esplicitamente l'assegnazione di $f$ puoi capire facilmente dove si trovano i punti di non derivabilità.
Ho posto
$x+1 > 0 -> x> -1 $ in questo caso $|x+1-x| > 0$ sempre
e
$x+1 < 0 -> x<-1 $ in questo caso $|-x-1-x| = |-2x-1| -> \{(-2x-1>0 -> x<-(1/2)),(2x+1 <0 -> x<-(1/2)):}$
A questo punto come faccio a capire quali sono i punti di non derivabilità? dovrebbero essere i punti presenti nella funzione e non nel dominio della derivata..
Non mi raccapezzo più neanche per fare la derivata.. dovrei derivare ognuno dei casi? e nel primo caso che è sempre positivo?
(Spero non me ne vorrete a male se ho scritto delle corbellerie! )
$x+1 > 0 -> x> -1 $ in questo caso $|x+1-x| > 0$ sempre
e
$x+1 < 0 -> x<-1 $ in questo caso $|-x-1-x| = |-2x-1| -> \{(-2x-1>0 -> x<-(1/2)),(2x+1 <0 -> x<-(1/2)):}$
A questo punto come faccio a capire quali sono i punti di non derivabilità? dovrebbero essere i punti presenti nella funzione e non nel dominio della derivata..
Non mi raccapezzo più neanche per fare la derivata.. dovrei derivare ognuno dei casi? e nel primo caso che è sempre positivo?
(Spero non me ne vorrete a male se ho scritto delle corbellerie!
)
Fai un po' di confusione secondo me.
Vediamo un po' di impostare bene la cosa.
Per sciogliere i valori assoluti "innestati" si parte (some hai fatto tu) dall'interno; il valore assoluto più interno è $|x+1|$ e si vede ad occhio che l'argomento è $>=0$ [risp. $<0$] per $x>= -1$ [risp. $x< -1$], cosicché l'assegnazione della funzione $f$ si può scrivere:
$f(x):=\{(|(x+1)-x|, ", se " x>= -1),(|-(x+1)-x|, ", se " x< -1):}$
$\quad \quad =\{(|1|, ", se " x>= -1),(|-2x-1|, ", se " x< -1):}$
$\quad \quad =\{(1, ", se " x>= -1),(|2x+1|, ", se " x< -1):} \quad \quad$ (nella seconda riga ho tenuto presente che $|-y|=|y|$ con $y=2x+1$).
Pertanto $f$ è costante in $[-1,+oo]$ e coincide con un valore assoluto in $]-oo,-1[$; rimane da sciogliere anche l'ultimo valore assoluto: per fare ciò notiamo che limitatamente all'intervallo $x<-1$ (in cui vale l'espressione di $f$ mediante il valore assoluto) si ha $2x+1<0$ (infatti è $ 2 x + 1 >= 0 $ se e solo se $x>=-1/2$, ma $[-1/2,+oo[ \cap ]-oo,-1[=\emptyset$), quindi in definitiva risulta:
$f(x):=\{(1, ", se " x>= -1),(-2x-1, ", se " x< -1):}$
Facendo il grafico:
[asvg]xmin=-2;xmax=1;ymin=-1;ymax=2;
axes("labels");
plot("-2*x-1",-2,-1);
plot("1", -1,2);[/asvg]
si vede che la $f$ non è derivabile in $-1$, mentre è derivabile in ogni punto di $RR\setminus \{ -1\}$.
Vediamo un po' di impostare bene la cosa.
Per sciogliere i valori assoluti "innestati" si parte (some hai fatto tu) dall'interno; il valore assoluto più interno è $|x+1|$ e si vede ad occhio che l'argomento è $>=0$ [risp. $<0$] per $x>= -1$ [risp. $x< -1$], cosicché l'assegnazione della funzione $f$ si può scrivere:
$f(x):=\{(|(x+1)-x|, ", se " x>= -1),(|-(x+1)-x|, ", se " x< -1):}$
$\quad \quad =\{(|1|, ", se " x>= -1),(|-2x-1|, ", se " x< -1):}$
$\quad \quad =\{(1, ", se " x>= -1),(|2x+1|, ", se " x< -1):} \quad \quad$ (nella seconda riga ho tenuto presente che $|-y|=|y|$ con $y=2x+1$).
Pertanto $f$ è costante in $[-1,+oo]$ e coincide con un valore assoluto in $]-oo,-1[$; rimane da sciogliere anche l'ultimo valore assoluto: per fare ciò notiamo che limitatamente all'intervallo $x<-1$ (in cui vale l'espressione di $f$ mediante il valore assoluto) si ha $2x+1<0$ (infatti è $ 2 x + 1 >= 0 $ se e solo se $x>=-1/2$, ma $[-1/2,+oo[ \cap ]-oo,-1[=\emptyset$), quindi in definitiva risulta:
$f(x):=\{(1, ", se " x>= -1),(-2x-1, ", se " x< -1):}$
Facendo il grafico:
[asvg]xmin=-2;xmax=1;ymin=-1;ymax=2;
axes("labels");
plot("-2*x-1",-2,-1);
plot("1", -1,2);[/asvg]
si vede che la $f$ non è derivabile in $-1$, mentre è derivabile in ogni punto di $RR\setminus \{ -1\}$.
Grazie mille per il chiarimento! Avevo una gran confusione a riguardo. 
Avevo una gran confusione a riguardo.
Giusto una curiosità:
perchè alle volte si scrive f(x) := etc e altre f(x) = etc ? Come mai si utilizzano i due punti?
perchè alle volte si scrive f(x) := etc e altre f(x) = etc ? Come mai si utilizzano i due punti?
Di solito il $:=$ significa "è per definizione uguale a"; $f(x):=||x+1|-x|$ significa che $f$ è per definizione la funzione che assegna $x\mapsto ||x+1|-x|$.
Grazie ancora! 
Altro giro altra ruota
Ho la seguente funzione : f(x)= $log|x+1|$
Una bella funziona che sembra tranquilla tranquilla!
Vedo che l'argomento del valore assoluto è >0 per x>-1 e <0 per x<-1, allora scrivo:
$\{(log(x+1) per x>-1),(log(-x-1) per x<-1):}$
Eseguo il limite destro e sinistro della derivata e scrivo:
$lim_(x->x0^+)((f(x)-f(x0))/(x-x0))$ e il relativo sinistro, da cui :
$lim_(x->-1^+)((log(x+1)-log(-1+1))/(x-(-1)))$
Il problema nasce qui... quando nella funzione f(x0) sostituisco x0 il logaritmo perde di significato.. e quindi?
Ho la seguente funzione : f(x)= $log|x+1|$
Una bella funziona che sembra tranquilla tranquilla!
Vedo che l'argomento del valore assoluto è >0 per x>-1 e <0 per x<-1, allora scrivo:
$\{(log(x+1) per x>-1),(log(-x-1) per x<-1):}$
Eseguo il limite destro e sinistro della derivata e scrivo:
$lim_(x->x0^+)((f(x)-f(x0))/(x-x0))$ e il relativo sinistro, da cui :
$lim_(x->-1^+)((log(x+1)-log(-1+1))/(x-(-1)))$
Il problema nasce qui... quando nella funzione f(x0) sostituisco x0 il logaritmo perde di significato.. e quindi?
E quindi hai dimenticato di determinare preventivamente il dominio della funzione...
Difatti -1 è escluso dal dominio però ciò non ferma il libro che si indica anche lui che -1 è escluso però dà comunque la derivata 
Ah, che bello poter calcolare la derivata di una funzione in una discontinuità di seconda specie... 
Ovviamente ha sbagliato il testo; che libro è?
Ovviamente ha sbagliato il testo; che libro è?
Camillo Trapani - Analisi matematica Funzioni di una variabile reale
Non è la prima volta che trovo un errore ma non pensavo a tal punto...
Va buono... grazie comunque!
Non è la prima volta che trovo un errore ma non pensavo a tal punto...
Va buono... grazie comunque!
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