Funzione uniformemente continua ma non a variazione limitata
Cercavo un esempio di funzione uniformemente continua ma non a variazione limitata.
Sono riuscito a trovare le seguenti implicazioni logiche:
funzione lipschitziana -> funzione assolutamente continua -> funzione uniformemente continua -> funzione continua
e funzione assolutamente continua -> funzione a variazione limitata basandomi su quanto letto sulla pagina di wikipedia riguardo le funzioni assolutamente continue.
E cercando su internet sono riuscito a trovare vari controesempi che permettono di dire che i viceversa non valgono:
$x^(1/3) ,x in (-oo, +oo)$ è assolutamente continua ma non lipschtziana
la funzione di Cantor è uniformemente continua (e a variazione limitata) ma non assolutamente continua
$x^2 ,x in (-oo,+oo) o 1/x ,x in (0,+oo)$ sono continue ma non uniformemente continue
$sin (1/x) ,x in (0,+oo)$ è continua ma non a variazione limitata
un'indicatrice di un intervallo chiuso è a variazione limitata ma non continua
mi resta da capire se è falsa "funzione uniformemente continua -> funzione a variazione limitata"
cioè a livello insiemistico continue$sup$uniformemente continue$sup$assolutamente continue$sup$lipschitziane
a variazioni limitata$sup$assolutamente continue
e mi chiedo se a variazione limitata$sup$uniformemente continue
a pensarci bene penso sia vero perchè le uniformente continue richiedono la limitatezza della crescita in ogni intorno e quindi l'integrale della loro derivata non dovrebbe divergere in un intervallo chiuso ma vorrei esserne sicuro
Sono riuscito a trovare le seguenti implicazioni logiche:
funzione lipschitziana -> funzione assolutamente continua -> funzione uniformemente continua -> funzione continua
e funzione assolutamente continua -> funzione a variazione limitata basandomi su quanto letto sulla pagina di wikipedia riguardo le funzioni assolutamente continue.
E cercando su internet sono riuscito a trovare vari controesempi che permettono di dire che i viceversa non valgono:
$x^(1/3) ,x in (-oo, +oo)$ è assolutamente continua ma non lipschtziana
la funzione di Cantor è uniformemente continua (e a variazione limitata) ma non assolutamente continua
$x^2 ,x in (-oo,+oo) o 1/x ,x in (0,+oo)$ sono continue ma non uniformemente continue
$sin (1/x) ,x in (0,+oo)$ è continua ma non a variazione limitata
un'indicatrice di un intervallo chiuso è a variazione limitata ma non continua
mi resta da capire se è falsa "funzione uniformemente continua -> funzione a variazione limitata"
cioè a livello insiemistico continue$sup$uniformemente continue$sup$assolutamente continue$sup$lipschitziane
a variazioni limitata$sup$assolutamente continue
e mi chiedo se a variazione limitata$sup$uniformemente continue
a pensarci bene penso sia vero perchè le uniformente continue richiedono la limitatezza della crescita in ogni intorno e quindi l'integrale della loro derivata non dovrebbe divergere in un intervallo chiuso ma vorrei esserne sicuro
Risposte
La funzione
\[ f(x) = \begin{cases}
x \sin(1/x), & \text{se}\ x\in(0,1],\\
0, & \text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
è continua in $[0,1]$, quindi uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor.
Non è però a variazione limitata (bisogna fare un paio di conti per dimostrarlo).
\[ f(x) = \begin{cases}
x \sin(1/x), & \text{se}\ x\in(0,1],\\
0, & \text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
è continua in $[0,1]$, quindi uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor.
Non è però a variazione limitata (bisogna fare un paio di conti per dimostrarlo).
ok grazie mille!
la variazione non limitata mi sembra ovvia perchè la derivata è
$sin(1/x)+(cos(1/x))/(x^2)$ e per x tendente a 0 non è limitata
ma l'uniforme continuità non mi è evidentissima ho provata a dimostrarla così ma non so se è corretto potreste segnalarmi eventuali sbagli
sia $|Delta f(x_0)|=|(x_0+delta)*sin(1/(x_0+delta))-x_0*sin(1/x_0)|=|(x_0*sin(1/(x_0+delta))+delta*sin(1/(x_0+delta))-x_0*sin(1/x_0)|=$
$=|(x_0*[sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)]+delta*sin(1/(x_0+delta))|<=x_0*|sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)|+delta*|sin(1/(x_0+delta))|<=$
$<=x_0*|sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)|+delta$ che tende a 0 per un $delta$ infinitesimo e quindi $EE delta>0$ tale che $|Delta f(x_0)|0$ analogamente per $x_0-delta$
non sono tanto sicuro dell'ultimo passaggio logico che non mi pare molto rigoroso
grazie in anticipo per l'eventuale aiuto
la variazione non limitata mi sembra ovvia perchè la derivata è
$sin(1/x)+(cos(1/x))/(x^2)$ e per x tendente a 0 non è limitata
ma l'uniforme continuità non mi è evidentissima ho provata a dimostrarla così ma non so se è corretto potreste segnalarmi eventuali sbagli
sia $|Delta f(x_0)|=|(x_0+delta)*sin(1/(x_0+delta))-x_0*sin(1/x_0)|=|(x_0*sin(1/(x_0+delta))+delta*sin(1/(x_0+delta))-x_0*sin(1/x_0)|=$
$=|(x_0*[sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)]+delta*sin(1/(x_0+delta))|<=x_0*|sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)|+delta*|sin(1/(x_0+delta))|<=$
$<=x_0*|sin(1/(x_0+delta))-sin(1/x_0)|+delta$ che tende a 0 per un $delta$ infinitesimo e quindi $EE delta>0$ tale che $|Delta f(x_0)|
non sono tanto sicuro dell'ultimo passaggio logico che non mi pare molto rigoroso
grazie in anticipo per l'eventuale aiuto
Il fatto che la derivata sia illimitata non implica che la funzione non è BV (pensa a $f(x) = \sqrt{x}$ per $x\in [0,1]$).
Riguardo all'uniforme continuità, come ho già scritto non c'è bisogno di fare conti: una funzione continua su un insieme compatto è uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor.
Riguardo all'uniforme continuità, come ho già scritto non c'è bisogno di fare conti: una funzione continua su un insieme compatto è uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor.
si scusa hai ragone non sono stato chiaro dovevo dire che l'integrale della derivata diverge a causa di $cos(1/x)/x^2$ nell'intorno di 0
grazie mille per l'aiuto
grazie mille per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo