Funzione uniformemente continua
determinare i numeri reali $\alpha>0$ tali che $f(x)=sin(x^\alpha)$ risulti uniformemente continua.
ho provato a ragionarci un pò. deve essere per ipotesi $\alpha>0$: perchè per $\alpha<0$ sarebbe sempre uniformemente continua, o sbaglio?? in ogni caso, tornando alla mia traccia, ho provato ad applicare la definizione di funzione uniformemente continua. avevo anche pensato di verificare se era lipschiztiana, perchè nel caso lo fosse sarebbe automaticamente anche uniformemente continua, ma anche in questo caso dovrei applicare la definizione, ma a quanto pare sono scarso nell'applicare le definizioni. l'altro teorema che potrei avere a disposizione sarebbe quello di heine-cantor, ma dovrei avere già per ipotesi un intervallo chiuso e limitato, e chi mi dice che nel mio caso non sia tutto $[0,+oo[$? ho troppi dubbi, ci sarebbe qualcuno capace di mettermi un pò sulla strada giusta?
ho provato a ragionarci un pò. deve essere per ipotesi $\alpha>0$: perchè per $\alpha<0$ sarebbe sempre uniformemente continua, o sbaglio?? in ogni caso, tornando alla mia traccia, ho provato ad applicare la definizione di funzione uniformemente continua. avevo anche pensato di verificare se era lipschiztiana, perchè nel caso lo fosse sarebbe automaticamente anche uniformemente continua, ma anche in questo caso dovrei applicare la definizione, ma a quanto pare sono scarso nell'applicare le definizioni. l'altro teorema che potrei avere a disposizione sarebbe quello di heine-cantor, ma dovrei avere già per ipotesi un intervallo chiuso e limitato, e chi mi dice che nel mio caso non sia tutto $[0,+oo[$? ho troppi dubbi, ci sarebbe qualcuno capace di mettermi un pò sulla strada giusta?
Risposte
Nel tuo caso (\(\alpha > 0\)) la funzione \(f(x) = \sin x^{\alpha}\) è continua (o comunque estendibile con continuità) su \([0,+\infty)\).
In particolare è continua in \([0,1]\); per il teorema di Heine-Cantor è dunque uniformemente continua in \([0,1]\). Di conseguenza risulterà essere uniformemente continua in \([0,+\infty)\) se e solo se lo è in \([1,+\infty)\).
Per lo studio dell'uniforme continuità su \([1,+\infty)\) si può considerare la derivata
\[
f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos(x^{\alpha}).
\]
Non dovrebbe esserti difficile dimostrare che, se \(\alpha\in (0,1]\), tale derivata è limitata in \([1,+\infty)\); da qui dovresti concludere.
Nel caso \(\alpha > 1\), invece, puoi dimostrare che la funzione non è uniformemente continua. Puoi considerare, ad esempio, i punti del tipo
\[
x_k := (2\pi k + \pi/2)^{1/\alpha},\qquad k\in \mathbb{N},
\]
e provare a vedere cosa succede alle differenze \(x_{k+1}-x_k\) e \(f(x_{k+1})-f(x_k)\) quando \(k\to +\infty\).
In particolare è continua in \([0,1]\); per il teorema di Heine-Cantor è dunque uniformemente continua in \([0,1]\). Di conseguenza risulterà essere uniformemente continua in \([0,+\infty)\) se e solo se lo è in \([1,+\infty)\).
Per lo studio dell'uniforme continuità su \([1,+\infty)\) si può considerare la derivata
\[
f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos(x^{\alpha}).
\]
Non dovrebbe esserti difficile dimostrare che, se \(\alpha\in (0,1]\), tale derivata è limitata in \([1,+\infty)\); da qui dovresti concludere.
Nel caso \(\alpha > 1\), invece, puoi dimostrare che la funzione non è uniformemente continua. Puoi considerare, ad esempio, i punti del tipo
\[
x_k := (2\pi k + \pi/2)^{1/\alpha},\qquad k\in \mathbb{N},
\]
e provare a vedere cosa succede alle differenze \(x_{k+1}-x_k\) e \(f(x_{k+1})-f(x_k)\) quando \(k\to +\infty\).
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