Funzione uniformemente continua

[VALE014]

Buongiorno a tutti:) ho dei problemi con funzioni uniformemente continua.
io so che $fA->R$ è uniformemente continua in A se $ AA epsilon >0EE delta >0 t.c. x_1,x_2in A e |x_1-x_2|
io ho questa funzione :$arctg1/X in (0;1)$
come faccio a calcolare epsilon e delta?? graziein anticipo

[anto_zoolander]

Considera che la funzione $f(x)=arctan(1/x)$ è derivabile in $(0,1)$ e con derivata limitata quindi

$f’(x)=-1/(x^2+1)$ e $|f’(x)|leq1,forallx in(0,1)$ quindi è una funzione Lipschitziana e pertanto uniformemente continua.

è noto che una funzione $f:(a,b)->RR$ derivabile con derivata limitata sia Lip poiché per prima cosa è continua e derivabile in ogni compatto contenuto in $a,b$, poi per limitatezza $existsL inRR:|f’(x)|leqL,forallx in(a,b)$

Se per assurdo non fosse Lip allora $forallMgeq0existsx,y in(a,b):|f(x)-f(y)|>M|x-y|$
Considerato $M=L$ e per gli $x,y$ trovati la funzione sarà di Lagrange su $[x,y]$ e quindi esisterà un $c in(x,y)$ per cui

$|(f(x)-f(y))/(x-y)|=|f’(c)|leqL => |f(x)-f(y)|leqL|x-y|$

[VALE014]

il problema è che non posso usare derivate

[otta96]

Allora una soluzione alternativa è che puoi estendere per continuità la tua funzione su tutto $[0,1]$, quindi per Heine-Cantor hai che l'estensione è uniformemente continua, quindi lo è anche la tua funzione originale perché è la restrizione di una funzione uniformemente continua.

[anto_zoolander]

Ok allora potresti considerare che

[size=85]

$|arctan(1/x)-arctan(1/y)|=arctan|(x-y)/(1+xy)|leq|(x-y)/(1+xy)|leq|x-y|$

[/size]
L’ultima viene dal fatto che essendo $x,y in(0,1)=>0 E quindi $1<1+xy<2$ da cui $1/2<1/(1+xy)<1$

Pertanto è Lipschitziana

[VALE014]

grazie mille:)

[Matricola252]

io l'ho dimostrato in altro modo, utilizzando il teorema di Lagrange

$ |arctan (1/a)- arctg (1/b)|< epsilon $
per il teorema del valor medio, ho che $ arctan (1/a) - arctan (1/b) = 1/(1+c^2)(a-b) $

ma l'arcotangente oscilla tra i valori negativi e positivi di pi greco mezzi, quindi $ 1/(1+c^2)(a-b)< (pi/2)^2 (a-b) < epsilon $

scelto un epsilon tale che $ delta(epsilon)= (2/pi)^2epsi $

risulta un delta dipendente dal solo epsilon, quindi è continua

[Matricola252]

Mannaggia, non avevo letto che non potevi usare le derivate...