Funzione uniformemente continua.
Buongiorno,
Non mi è molto chiara l'applicazione della def. di funzione uniformemente continua oppure non ho capito la def. della stessa.
Comunque vi riporto la def. con un esempio.
Siano X un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) ed \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) una funzione reale. Si dice che $f$ è una funzione uniformemente continua se, per ogni \(\displaystyle \epsilon> \exists \delta >0 \) tale che: \(\displaystyle \forall x,y \in X. |x-y|<\delta \to |f(x)-f(y)|<\epsilon \).
Intuitivamente l'ho capita " forse ", cioè, una volta fissato \(\displaystyle \epsilon, \delta \) per ogni \(\displaystyle x,y \) che risultano minori \(\displaystyle \delta \) anche l'immagine deve risultare più piccola di \(\displaystyle \epsilon \).
Esempio
\(\displaystyle f(x)=x^2 \) non è uniformemente continua.
La seguente funzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), la disuguaglianza \(\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon: \epsilon >0 \) diventa:
\(\displaystyle |x^2-y^2|\epsilon \) che ed è equivalente a \(\displaystyle |(x-y)(x+y)|<\epsilon \) se si sceglie \(\displaystyle y=x+\delta/2 \) si ha:
1 )\(\displaystyle |\tfrac{\delta}{2}(2x+\tfrac{\delta}{2})|<\epsilon \), non può essere soddisfatta se \(\displaystyle x\ge 0 \) e \(\displaystyle x\ge \tfrac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}. \).
Una buona parte dell'esempio mi è chiara , soltanto la parte finale che non mi è chiara, cioè da quando dice" non può...."
Mi spiego meglio, se imposto il sistema con le due disequazione mi ritrovo questo:
2)\(\displaystyle -\tfrac{(4\epsilon+\delta^2)}{4\delta}
Scusate se sono stato un po' lungo ma ha voluto chiarire i miei dubbi.
Cordiali Saluti.
Non mi è molto chiara l'applicazione della def. di funzione uniformemente continua oppure non ho capito la def. della stessa.
Comunque vi riporto la def. con un esempio.
Siano X un sottoinsieme non vuoto di \(\displaystyle \mathbb{R} \) ed \(\displaystyle f:X\to \mathbb{R} \) una funzione reale. Si dice che $f$ è una funzione uniformemente continua se, per ogni \(\displaystyle \epsilon> \exists \delta >0 \) tale che: \(\displaystyle \forall x,y \in X. |x-y|<\delta \to |f(x)-f(y)|<\epsilon \).
Intuitivamente l'ho capita " forse ", cioè, una volta fissato \(\displaystyle \epsilon, \delta \) per ogni \(\displaystyle x,y \) che risultano minori \(\displaystyle \delta \) anche l'immagine deve risultare più piccola di \(\displaystyle \epsilon \).
Esempio
\(\displaystyle f(x)=x^2 \) non è uniformemente continua.
La seguente funzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \), la disuguaglianza \(\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon: \epsilon >0 \) diventa:
\(\displaystyle |x^2-y^2|\epsilon \) che ed è equivalente a \(\displaystyle |(x-y)(x+y)|<\epsilon \) se si sceglie \(\displaystyle y=x+\delta/2 \) si ha:
1 )\(\displaystyle |\tfrac{\delta}{2}(2x+\tfrac{\delta}{2})|<\epsilon \), non può essere soddisfatta se \(\displaystyle x\ge 0 \) e \(\displaystyle x\ge \tfrac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}. \).
Una buona parte dell'esempio mi è chiara , soltanto la parte finale che non mi è chiara, cioè da quando dice" non può...."
Mi spiego meglio, se imposto il sistema con le due disequazione mi ritrovo questo:
2)\(\displaystyle -\tfrac{(4\epsilon+\delta^2)}{4\delta}
Scusate se sono stato un po' lungo ma ha voluto chiarire i miei dubbi.
Cordiali Saluti.
Risposte
Nessuno che mi aiuta ? 
La definizione di uniforme continuità è la seguente
Sia $f: X \subset RR \to RR$, diciamo che $f$ è uniformemente continua in $X$ se
$\forall \epsilon >0 \quad \exists \delta = \delta (\epsilon) >0 : x,y \in X \quad \wedge \quad 0<|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon$
Per dimostrare che una funzione non è uniformemente continua bisogna dimostrare che vale la negazione di tale definizione:
$\exists \epsilon >0 : \quad \forall \delta >0 \quad \exists x=x(\delta), y=y(\delta) \in X : |f(x)-f(y)| >= \epsilon$
Qui facciamo vedere di più, cioè che per ogni $\epsilon>0$ troviamo che tutti i $\delta>0$ sono tali che la definizione è negata per moltissime $x$ e per certe $y$.
Ti ho sottolineato le cose più forti della sola negazione della definizione che si dimostrano qua, è scritto alla buona ma è per essere compresi.
Prendiamo $\epsilon$ generico e $\delta$ pure; prendiamo $x$ positivo qualsiasi e scegliamo $y$ tale che $y-x = \delta/2$ e $x>= \frac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}$ allora otteniamo che
1. $|x-y| <\delta$
2. $|f(x)-f(y)| = \delta/2 (2x+\delta/2) >= \delta /2 (2\frac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}+ \delta/2) = \epsilon $
Cioè quello che volevamo dimostrare.
$x>=0$ è solo per rendere più umani i conti.
Sia $f: X \subset RR \to RR$, diciamo che $f$ è uniformemente continua in $X$ se
$\forall \epsilon >0 \quad \exists \delta = \delta (\epsilon) >0 : x,y \in X \quad \wedge \quad 0<|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon$
Per dimostrare che una funzione non è uniformemente continua bisogna dimostrare che vale la negazione di tale definizione:
$\exists \epsilon >0 : \quad \forall \delta >0 \quad \exists x=x(\delta), y=y(\delta) \in X : |f(x)-f(y)| >= \epsilon$
Qui facciamo vedere di più, cioè che per ogni $\epsilon>0$ troviamo che tutti i $\delta>0$ sono tali che la definizione è negata per moltissime $x$ e per certe $y$.
Ti ho sottolineato le cose più forti della sola negazione della definizione che si dimostrano qua, è scritto alla buona ma è per essere compresi.
Prendiamo $\epsilon$ generico e $\delta$ pure; prendiamo $x$ positivo qualsiasi e scegliamo $y$ tale che $y-x = \delta/2$ e $x>= \frac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}$ allora otteniamo che
1. $|x-y| <\delta$
2. $|f(x)-f(y)| = \delta/2 (2x+\delta/2) >= \delta /2 (2\frac{4\epsilon-\delta^2}{4\delta}+ \delta/2) = \epsilon $
Cioè quello che volevamo dimostrare.
$x>=0$ è solo per rendere più umani i conti.
Ciao Bremen000,
grazie per la risposta chiarissima. I passaggi mi sono tutti chiari, la cosa che non mi è molta chiara è sulla scelta dei valori \(\displaystyle x,y \), cioè come hai scelto il valoro della \(\displaystyle x \) su quale criterio ?
Ciao
grazie per la risposta chiarissima. I passaggi mi sono tutti chiari, la cosa che non mi è molta chiara è sulla scelta dei valori \(\displaystyle x,y \), cioè come hai scelto il valoro della \(\displaystyle x \) su quale criterio ?
Ciao
Ciao, il valore della $x$ è arbitrario in realtà, ho solo imposto che sia maggiore di una certa quantità dipendente da $\epsilon$ e $\delta$ per far saltar fuori che la quantità $|f(x)-f(y)|$ risultasse maggiore di $\epsilon$.
Ciao,
la quantità che hai scelto lo so o almeno penso da dove viene fuori, dal disequazione 2) che ho fatto notare nel primo messaggio.
Però adesso le cose sono un pò diverse, nel senso che abbiamo negato la def. di continuità uniforme, quindi la 2) non avrebbe senso a priori.
Non so se mi sono spiegato bene.
Il mio dubbio è capire i passaggi per impostare questi valori.
la quantità che hai scelto lo so o almeno penso da dove viene fuori, dal disequazione 2) che ho fatto notare nel primo messaggio.
Però adesso le cose sono un pò diverse, nel senso che abbiamo negato la def. di continuità uniforme, quindi la 2) non avrebbe senso a priori.
Non so se mi sono spiegato bene.
Il mio dubbio è capire i passaggi per impostare questi valori.
Purtoppo non ho capito nulla di quello che chiedi.
Voglio dire, come hai determinato il valore della \(\displaystyle x \), quali sono i passaggi da fare.
Il punto è che non ho determinato alcun valore della $x$. Ho solo scritto che deve essere maggiore di una certa quantità.
Hai ragione mi sono espresso male.
Questo intendo come hai valutato questa quantità, questo è il mio problema.
"Bremen000":
Ho solo scritto che deve essere maggiore di una certa quantità.
Questo intendo come hai valutato questa quantità, questo è il mio problema.
Ho scelto che $x$ fosse maggiore di quella quantità apposta, cosicché tutto funzionasse!
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