Funzione trigonometrica

[AlexlovesUSA]

Cio a tutti. Devo studiare la seguente funzione :$y=x+sinx$.
Il dominio è $D=(-oo;+oo)$
Ma arrivato al punto in cui devo fare tutto il resto mi sono bloccato. Come la risolvo?
Iniziamo con le intersezioni con gli assi, quindi $y=0$ $x+sinx=0$ quando? io ho pensato quando $x=0$ e basta ma ci sono arrivato ragionando e non attraverso i calcoli. Come si risolve un'equazione del genere ?( facendo tutt'altra matematica l'ho dimenticto ).
Qunado devo andare a calcolare la positività come risolvo le disequazioni $y<0$ e $y>0$?
Per calcolare i limiti $lim_(x->+-oo)x+senx$ ho pensato di dividere per x ottenendo $lim_(x->+-oo)1+(senx)/x$. Per x tendente a infinito la seconda parte del limte è uguale a 0 quindi otteniamo come risultato 1 e quindi $y=1$ asintoto orizzontale ma non so se è giusto.
Per quanto riguarda le derivate sono $y'=1+cosx$ e $y''=-sinx$ quindi $y'=0$ quando $cosx=-1$ e cioè $3/2pi + 2kpi$.
Sostituendo $y''(3/2pi)=-1<0$ quindi è un massimo $Max(3/2pi;5,71)$
Nel grafico che ho disegnatopo al pc viene molto diverso rispetto al mio. Non c'è nemmeno l'asintoto e ci sono due punti simmetrici 1 e 3 quadrante che non capisco se siano flessi o max e min.
E' giusto? Potete dirmi come risolvere quell parti precedenti perfavore?
Grazie

[Relegal]

"AlexlovesUSA":
Per calcolare i limiti $lim_(x->+-oo)x+senx$ ho pensato di dividere per x ottenendo $lim_(x->+-oo)1+(senx)/x$. Per x tendente a infinito la seconda parte del limte è uguale a 0 quindi otteniamo come risultato 1 e quindi $y=1$ asintoto orizzontale ma non so se è giusto.

Non puoi dividere per $x$. O meglio, se lo vuoi fare devi anche moltiplicare per $x$ !
Secondo il tuo ragionamento avremmo che $lim_(x->+oo)x=lim_(x->+oo)(x/x)=1$. Non credo funzioni
$lim_(x->+oo)(sinx+x))$ è immediato perchè non hai una forma di indeterminazione: il termine $x$ tende all'infinito, $sinx$ è limitato, per cui sommato ad $x$ non ne modifica l'andamento all'infinito.
Se non riesci a trovare le intersezioni con gli assi non è un problema, tira avanti. Quella che ti si presenta è un'equazione trascendente.
Ad occhio hai trovato un punto in cui si annulla, lo studio della monotonia della funzione può fornire elementi validi per stabilire se ce ne possono essere altri o meno.

[AlexlovesUSA]

eh già. Nel limite dev anc emoltiplicare. L'avevo dimenticato.Per quanto riguarda il limite mi ero bloccato perchè c'è una bella regola che dice che non esiste il mimite ne finito ne infinito di $sinx$ per $x->+-oo$ quindiavevo pensato di risolverlo diversamente.
Ma scusa quando mi si prensenterà l'equazione trascendente? In quale passaggio? Il problema non èsolo l'int. con gli assi ma è anche rrisolvere le disequazioni quindi... oppure tu dici dopo avere fatto la derivata'? hce in quel caso si può risolvere faclmente?


Ragazzi mi sento rincretinito. Finchè erano funzioni razionali le facevo n 5 minuti, adesso invece mi si resentano esponenziali ,trigonometriche ecc... e poichè non mi ricordo alcune regole e i mod di risoluzione mi sento bloccato
Mi sono bloccato anche in questo studio di funzione : $y=e^(-x^2)$
Il dominio è $D=(-oo;+oo)$
Adesso arriva il bello.... A partire delle intersezioni con gli assi per risolvere l'equazzione $e^(-x^2)=0$ come risolvo? devo fare diventare entrambi i membri con la stessa base? o faccio direttamente $-x^2=0$ ? Aiuttoooo...
Poi devo studiare la positività quindi risolvere le diseqazioni ma siamo sempre al caso precendente ancora + complicato XD
Per quanto riguarda i limiti ho $lim_(x->+-oo)e^(-x^2) =oo$ ma ho provato a cercare gli asintoti obliqui ma non ci sono nemmeno quelli.
L'unica cosa facile è stata fare la derivata prima e quella seconda che sono $y'=-2xe^(-x^2)$ e $y''=e^(-x^2)(4x^2-2)$.
Ma adesso siamo dinuovo lì devo calcolare $y'=0$



Il grafico è molto semplice, è una parabola convessa con vertice o massimo in (0;1) e con i lati che continuano sia a destra che a sinistra e si avvicinano sempre di + a $y=0$. Ma allora $y=0$ non dovrebbe essere asintoto orizz.? Perchè non l'ho trovato?

[Relegal]

Una cosa alla volta:
Se derivi la funzione $x+sinx$ ottieni la funzione derivata prima $1+cosx$. Dal momento che $cosx in [-1 ; 1] AAx in RR $ segue che la derivata è sempre maggiore o uguale a zero. La funzione è sempre crescente quindi (non strettamente). Per questo motivo, ricordando che la funzione di partenza è continua e che i limiti per $x->+oo$ e $x->-oo$ hanno segni opposti, possiamo concludere che esiste un unico punto in cui la funzione si annulla. Tale punto è lo zero, come tu stesso hai trovato. Ciò implica anche che la funzione sarà negativa $AAx<0$ e positiva $AAx>0$.
Come vedi non serviva studiare quella disequazione e quell'equazione !
Per la seconda funzione stai attento perchè non è vero che $lim_(x->+oo)(e^(-x^2))=oo$.
Inoltre ricorda che l'esponenziale non si annulla mai. Prova quindi a riguardare lo studio di $f(x)=e^(-x^2)$.

[AlexlovesUSA]

Ok per il primo esercizio non ci soo + problemi. Grazie
Per il second esercizio ho sbagliato il limite scusa. Volevo dire che quando x tende a infiinito la funzione si avvicina a 0 quindi il limite fa 0 giusto?
Si certo che non si annulla mai perchè anche se fosse 0 l'esponente verrebbe 1.
Quindi a questo punto ho trovato che $y=0$ è asintoto orizzontale. Adesso non mi resta che trovare il punto di massimo $(0;1)$ attraverso la derivata ecc... ma come faccio a risolvere questo tipo di equazioni e disequazioni? E' questo che non ricordo come fare....

[Relegal]

la derivata prima è $-2x*e^(-x^2)$. La poniamo uguale a zero per studiare i punti stazionari. Questa equazione quando è verificata ? Abbiamo un prodotto posto uguale a zero, affinchè tale prodotto sia zero bisogna vedere quando uno dei due fattori si annulla . .
Allo stesso modo si risolve l'equazione riguardante la derivata seconda.

[AlexlovesUSA]

Un prodotto si annulla quando uno dei fattori è 0 quindi $-2x=0$ e quindi $x=0$ giusto? Anche perchè il secondo fattore non si annulla mai.
Nel caso iniziale invece $e^(-x^2)=0$ che non c'è prodotto come risolvo?

[Relegal]

Si certo che non si annulla mai perchè anche se fosse 0 l'esponente verrebbe 1. .
Queste sono tue parole. Se le hai detto con cognizione di causa, perchè mi chiedi
Nel caso iniziale invece $e^(-x^2)=0$ che non c'è prodotto come risolvo?

[Gi81]

Beh... secondo me il segreto è conoscere bene le singole funzioni
Quelle trigonometriche, quelle esponenziali, quelle logaritmiche, quelle con le radici... Bisogna sapere le varie proprietà che caratterizzano ogni singola funzione.
In questo caso $y=e^(-x^2)$... è una funzione pari, sempre positiva, a $+oo$ e a $-oo$ tende a $0$,
e poichè $y'=-2x*e^(-x^2)$ la funzione è crescente $AAx in (-oo, 0)$ e decrescente $AA x in (0, +oo)$
Dunque avrà un punto di massimo , in $0$, che è $1$ (come hai scritto anche tu).... Non è particolamente difficile

Comunque se vuoi un consiglio, se ogni tanto hai qualche dubbio, prova a farti il grafico "a mano":
trovi il valore della funzione in qualche punto significativo, a tua discrezione...
Così ti fai un'idea di come potrebbe andare

[AlexlovesUSA]

@relegal. eh si hai ragione, Non si annulla mai quindi quella cosa non succede mai. Mentre se vado a porre $x=0$ ottengo $y=1$ che è quel famoso punto di massimo.
@gi8:Sisi hai ragione infatti ho preso il libro di liceo e domani mi faccio un bel ripassino generale di queste funzioni.
Ci provo a farmi il grafico a mano ma poi ci sono dei punti che non mi convincono e la tentazione di andare a controllare è forte

Sapete quale è il mio errore, che sono, ma solo nella risoluzione degli esercizi, molto impulsivo e certe volte scrivo velocemente facendo errori di scrittura, di calcolo o peggio ancora non studio bene le funzioni che mi trovo davanti quindi mi ritrovo a scrivere o dire cavolate.
La prox volta starò + attento.
Grazie a entrambi.

[Relegal]

Si è notata questa tua impulsività .
Se qualcosa non ti esce subito, non andare nel panico, guardala un attimo in faccia e prova ad aggirare l'ostacolo e magari ti renderai conto, come ad esempio per la precedente equazione, che il problema non esiste ed eri solo distratto !
In questi esercizi è importante riflettere, cercare scorciatoie etc. ( Come osservato da Gi8, se la funzione è dotata di simmetrie, il tuo lavoro si riduce di molto ). Infine occhio ai conti !

[AlexlovesUSA]

Ok accetto il consiglio. Grazie
Al prossimo problema posterò qualcosa. Ciao

[Gi81]

Buona continuazione

[AlexlovesUSA]

Allora ragazzi, ho fatto un altro studio di funzione, dopo aver fatto un ripasso dei vari tipi di funzioni, ma mentre io ero sicuro di stare facendo bene invece il grafico era diverso quindi ho sbagliato dinuovo . La funzione è questa :$y=e^(-x)sinx$
Il dominio è $D=(-oo;+oo)$
Adesso andiamo a calcolare le intersezioni con gli assi: ponendo $y=0$ si ha che $e^(-x)sinx=0$ quando $sinx=0$ perchè l'exp è sempre maggiore di 0. $sinx=0$ quando $x=0$ e $x=pi$ quindi trovo $A(0;0)$ e $B(pi,0)$ e questo è giusto.
Adesso vado a calcolare i limiti: $lim_(x->+oo)e^(-x)sinx$ abbiamo che l'exp tende a 0 per $x->-oo$ quindi è prodotto di limitata per infinitesima e quindi fa 0 e ottengo sa. orizzontale $y=0$ che nel grafico non lo è invece perchè la curva lo attraversa in un punto che è B, quindi non va bene sto limite. Il limite $lim_(x->-oo)e^(-x)sinx$ invece mi viene $+oo$ e quindi ho provato a cercare as. obliquo ma mi sono bloccato nel calcolo del limite...Adesso ho posto $y>0$ e ho trovato che è maggiore di 0 quando $0 A questo punto calcolo la derivata prima che è $y'=e^(-x)(sinx+cosx)$ che pongo uguale a 0 per trovare eventuali punti critici e trovo che è uguale a 0 quando $(sinx + cosx)=0$ e quindi divido per cosx ottenendo $tgx=-1$ che risolvo trovando $x=3/4pi $ e $x=7/4pi$. Sostituisco nella derivata seconda che a me viene $y''=2e^(-x)(cosx)$ mentre a loro viene con il meno davanti e non capisco il perchè...
e trovo,usando la derivata seconda trovata da loro, che $y''(7/4pi)<0$ quindi è un massimo e che $y''(3/4pi)>0$ e quindi un minimo. Guardando il grafico ci sono veramente 2 punti uno di max e uno di min ma, quell di max è tra $00$ quindi minimo e $y''(3/4pi)<0$ e quindi un massimo ma nemmeno così combaciano, quei punti sono diversi non sono questi...
Dove sbaglio?

[Gi81]

Ci sono tanti punti da chiarire

"AlexlovesUSA":Allora ragazzi, ho fatto un altro studio di funzione, dopo aver fatto un ripasso dei vari tipi di funzioni, ma mentre io ero sicuro di stare facendo bene invece il grafico era diverso quindi ho sbagliato dinuovo . La funzione è questa :$y=e^(-x)sinx$
Il dominio è $D=(-oo;+oo)$
Adesso andiamo a calcolare le intersezioni con gli assi: ponendo $y=0$ si ha che $e^(-x)sinx=0$ quando $sinx=0$ perchè l'exp è sempre maggiore di 0. $sinx=0$ quando $x=0$ e $x=pi$ quindi trovo $A(0;0)$ e $B(pi,0)$ e questo è giusto.

Non è esatto... in realtà esistono infiniti punti dove la funzione si annulla....
$sen(x)=0 rarr x=kpi$, $k in Z$ cioè $x in {..., -2pi, -pi, 0, pi, 2pi, 3pi,....}

"AlexlovesUSA":
Adesso vado a calcolare i limiti: $lim_(x->+oo)e^(-x)sinx$ abbiamo che l'exp tende a 0 per $x->-oo$ quindi è prodotto di limitata per infinitesima e quindi fa 0 e ottengo sa. orizzontale $y=0$ che nel grafico non lo è invece perchè la curva lo attraversa in un punto che è B, quindi non va bene sto limite. Il limite $lim_(x->-oo)e^(-x)sinx$ invece mi viene $+oo$ e quindi ho provato a cercare as. obliquo ma mi sono bloccato nel calcolo del limite...

Allora, a $+oo$ esiste il limite ed è $0$, se non ho capito male è quello che hai detto anche tu.
Invece, a $-oo$ non esite il limite, perchè l'esponenziale tende a $+oo$, mentre il seno può essere sia un numero negativo che un numero positivo.

"AlexlovesUSA":
Adesso ho posto $y>0$ e ho trovato che è maggiore di 0 quando $0
Anche qui dovresti tenere conto che il seno è una funzione periodica

"AlexlovesUSA":
A questo punto calcolo la derivata prima che è $y'=e^(-x)(sinx+cosx)$

Secondo me non è quella la derivata prima
Prova a rifarla...

[AlexlovesUSA]

Allora per quanto riguarda la periodicità della funzione, lo sò, ma non mi andava di scrivere sempre $+2kpi$ in ogni equazione
I limiti allora sono esatti. Avevo fatto bene XD
Per quanto riguarda la derivata è sicuramente quella anche perchè ho controllato la soluzione. L'unico problema è per la derivata seconda che a loro viene con il meno davanti...

[AlexlovesUSA]

Ehy ragazzi, questo è lo studio di funzione preso dall'esame precedente : $y=x/(ln^2x-3)$
Il dominio di questa funzione è PER $x>0$ e per $ln^2x-3!=0$ Il dominio è allora $D=(0;e^(-sqrt3))U(e^(-sqrt3):e^(sqrt3))U(e^(sqrt3);+oo)$ A questo punto trovimo le intersezioni con gli assi e abbiamo solo quella per $y=0$ ovvero $A(0;0)$.
A questo punto troviamo la positività della fuznione ponendo $y>0$ e abbiamo $x>0$ e al denominatore $lnx>lne^(+-sqrt3)$ che viene $x>e^+-sqrt3$ o sbaglio?
Poi la negatività $y<0$ ottenendo$x<0$ e $x Adesso calcoliamo i limiti
$lim_(x->o^-)x/(ln^2x-3)$ che viene 0 quindi nnt asintoto
$lim_(x->e^(-sqrt3)^+)f(x)$ e otteniamo che viene $+oo$ quindi è $x=e^(-sqrt3)$ as. veticale
Lo stesso vale per quello che gli tende da dastra.
Per l'altro limite tendente a quello con radice positiva è un altro asintoto $x=e^(sqrt3)$
Infine per $x->+oo$ otteniamo che essendo il logaritmo infinito di ordine inferiore a qualunque potenza viene infinito quindi cerchiamo as. obliquo ma non ce ne sono perchè il primo limite viene 0.
A questo punto calcoliamo la derivata prima che viene $y'=(ln^2x-2ln-3)/(ln^2-3)$ giusto?
Aquesto punto troviamo i punti critici ponendo $y'=0$ e abbiamo da risolvere $ln^2x-2lnx-3=0$ che risolviamo come? come un'eq di secondo grado? oppure devo prima porre $3=lne^3$ e poi risolvere $x^2-2x-e^3=0$?

[indovina]

"AlexlovesUSA":Allora per quanto riguarda la periodicità della funzione, lo sò, ma non mi andava di scrivere sempre $+2kpi$ in ogni equazione
I limiti allora sono esatti. Avevo fatto bene XD
Per quanto riguarda la derivata è sicuramente quella anche perchè ho controllato la soluzione. L'unico problema è per la derivata seconda che a loro viene con il meno davanti...

a me la derivata prima viene:
$f'(x)=e^-x(-sin(x)+cos(x))$

[AlexlovesUSA]

Ehy hai ragione viene davvero così. Siccome nella soluzione era scritto al contrario non ci ho fatto caso perchè avevo fretta SCUSA
Quindi essendo così viene con il meno davanti anche la der. seconda. Ora ci siamo. Grazie