Funzione trigonometrica

Duj91
Buonasera. Ho provato a svolgere il seguente esercizio:

$f(x)=(sinx)^(1-cosx)$

a) Determinare il dominio della funzione

So che nel caso $h(x)^g(x)$ se $g(x)>0$ allora bisogna imporre $h(x)>=0$ se non si conosce il segno di $g(x)$ allora si impone $h(x)>0$

Escludendo il punto $x=0$ altrimenti avremmo la forma indeterminata $0^0$ so che $1-cosx>0$ sempre. Allora impongo $sinx>=0$ e ottengo come dominio

$Domf(x) = (0+2kpi;pi+2kpi)$ con $k in N$

b) Calcolare, se esiste, il seguente limite

$ lim_(x -> 0+) f(x) $

So che:

$ lim_(x -> 0+) sinx/x = 1 $
Quindi il $sinx$ e $x$ sono infinitesimi dello stesso ordine.

Inoltre

$lim_(x -> 0+) (1-cosx)/x = 0 $
Quindi $1-cosx$ è un infinitesimo di ordine maggiore di $x$ e quindi anche di $sinx$

Ne consegue che

$ lim_(x -> 0+) sinx^(1-cosx) = 1 $

c)Scrivere il polinomio di taylor di ordine 4 di f centrato in $a=pi/2$

La formula per trovare il polinomio è $P4(x) = sum_(k = 0)^4 (f^k(a))/(k!)*(x-a)^k $

$f(pi/2)=1$

$f'(x) = sinx^(1-cosx) * [sinx*ln(sinx)+((1-cosx)*cosx)/sinx]$

$f'(pi/2) = 0$

Ora per rendere più semplice lo svolgimento ho chiamato $b(x) =[sinx*ln(sinx)+((1-cosx)*cosx)/sinx]$ sapendo che $b(pi/2)= 0$

$f''(x) = f'(x)*b(x) + f(x)*b'(x)$

Dove $b'(x) =cosx*ln(sinx)+(sin^2x*cosx+cosx-1)/(sin^2x)$

$b'(pi/2)= -1$ quindi $f''(pi/2) = -1$

$f'''(x) = f''(x)*b(x) + f'(x)*b'(x) + f'(x)*b'(x) + f'(x)*b''(x)$

Dove $b''(x)=-sinx*ln(sinx) + 1/(sinx) - sinx + (2*sin^4x - 3*sin^3x - sin^2x + 2*sinx + 2*cosx - 2)/(sin^3x)$ e $b''(pi/2) = -2$

$f'''(pi/2) =-2$

$f^4(x) = f'''(x)*b(x)+f''(x)*b'(x)+f''(x)*b'(x)+f'(x)*b''(x)+f''(x)*b'(x)+$
$+f'(x)*b''(x)+f'(x)*b''(x)+f(x)*b'''(x)$

Senza mostrare tutto il passaggio di $b'''(x)$ risulta $b'''(pi/2) = - 2$ e quindi $f^4(pi/2)=1$

Concludendo risulta

$P4(x) = 1 + 0 -1/2*x-(pi/2)^2 -1/3*(x-pi/2)^3 + 1/24*(x-pi/2)^4$

Oltre a chiedervi se i punti a) e b) sono corretti quello che mi preme di più è il punto c) dove per essere corretto il polinomio dovrebbe avere davanti a $(x-pi/2)^3$ un fattore $-1/2$ e non $-1/3$ ma non capisco dove sbaglio. In più mi chiedevo se vi erano modi più veloci per calcore il polinomio di Taylor. Grazie!!

Risposte
Duj91
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

Duj91
Ancora nessuno che sa darmi una risposta? Il dubbio resta

ciampax
1) Per il dominio, nessun problema: in ogni caso sbagli a ragionare nel caso generale. La funzione $f(x)=g(x)^{h(x)}$ ha come condizione per il dominio, in ogni caso, $g(x)>0$, a prescindere da come sia fatto l'esponente. Comunque, essendo una funzione trigonometrica e, di conseguenza, periodica di periodo $2\pi$, ti basta lavorare su $[0,2\pi]$. Ne segue che il dominio da considerare è $D=(0,\pi)$.

2) Non capisco bene cosa fai con il limite: la cosa furba in questi casi è usare l'identità seguente $a^b=e^{b\log a}$ per $a>0$. Così facendo il limite diventa
$$\lim_{x\to 0^+} e^{(1-\cos x)\cdot \log \sin x}=\lim_{x\to 0^+} e^{x^2/2 \cdot\log x}=e^0=1$$
avendo usato i confronti locali per le funzioni coseno e seno e ricordando che $\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log x=0,\ \alpha>0$.

3) Mettersi a calcolare tutte le derivate è da folli! Il modo giusto per determinare questi sviluppi, è quello di usare le formule di McLaurin e opportuni cambiamenti di variabile al fine di ottenere quello che serve. Per prima cosa, facciamo in modo di portare il punto $x_0=a=\pi/2$ nel punto $t_0=0$ attraverso un cambiamento di variabile: la cosa più semplice è porre $t=x-a$. In tal modo la funzione risulta
$$f(x)=\sin x^{1-\cos x}=\sin(t+\pi/2)^{1-\cos(t+\pi/2)}=\cos t^{1+\sin t}=e^{(1+\sin t)\log(\cos t)}=F(t)$$
Sviluppiamo ora le funzioni ad esponente fino al quarto ordine:
$$1+\sin t=1+t+\frac{t^3}{6}+o(t^3)$$
$$\log(\cos t)=\log\left(1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)=\\ -\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)-\frac{1}{2}\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2+o\left[\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2\right]=\\ -\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^4}{8}+o(t^4)=-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)$$
pertanto all'esponente si ha
$$(1+\sin t)\log(\cos t)=-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)$$
Si ha dunque
$$F(t)=e^{-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)}=\\ 1+\left(-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)\right)+\frac{1}{2}\left(-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)\right)^2+o\left[\left(-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+o(t^4)\right)^2\right]=\\ 1-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{12}+\frac{t^4}{8}+o(t^4)=1-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)$$
Infine
$$f(x)=1-\frac{1}{2}(x-\pi/2)^2-\frac{1}{2}(x-\pi/2)^3+\frac{1}{24}(x-\pi/2)^4+o\left[(x-\pi/2)^4\right]$$

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