Funzione su spazio $\L^p$
ho la seguente funzione,
$\f(x)=(1)/(x^(1/2)(log(x))^(1/3))$
l'esercizio chiede di determinare per quali p essa appartiene a $\L^P(2,oo)$
il risultato dell'esercizio dice che essa appartiene a $\L^P(2,oo)$; per ogni p>2
questo mi ha fatto tornare alcuni dubbi sulla rapidità, con cui il logaritmo diverge...
infatti se p=2 si ottiene:
$\f(x)=(1)/(x(log(x))^(2/3))$
non dovrebbe essere sufficiente p=2
per avere al denominatore "un infinito di ordine maggiore rispetto a x" e quindi un integrale convergente??
per confronto con
$\int_1^oo(1)/(x^P)dx1
grazie.
$\f(x)=(1)/(x^(1/2)(log(x))^(1/3))$
l'esercizio chiede di determinare per quali p essa appartiene a $\L^P(2,oo)$
il risultato dell'esercizio dice che essa appartiene a $\L^P(2,oo)$; per ogni p>2
questo mi ha fatto tornare alcuni dubbi sulla rapidità, con cui il logaritmo diverge...
infatti se p=2 si ottiene:
$\f(x)=(1)/(x(log(x))^(2/3))$
non dovrebbe essere sufficiente p=2
per avere al denominatore "un infinito di ordine maggiore rispetto a x" e quindi un integrale convergente??
per confronto con
$\int_1^oo(1)/(x^P)dx
grazie.
Risposte
La funzione \( g(x) = \frac{1}{x^a (\log x)^b}\) è integrabile su \([2,+\infty)\) se \(a>1\) oppure se \(a=1\) e \(b > 1\); in tutti gli altri casi l'integrale diverge a \(+\infty\).
Il caso \(a=1\) si tratta calcolando esplicitamente l'integrale (con la sostituzione \(y = \log x\)); gli altri casi si trattano per confronto con un'opportuna potenza \(1/x^p\) tenendo conto che, per \(x\to+\infty\), \(\log x\) diverge a \(+\infty\) più lentamente di qualsiasi potenza positiva di \(x\).
Il caso \(a=1\) si tratta calcolando esplicitamente l'integrale (con la sostituzione \(y = \log x\)); gli altri casi si trattano per confronto con un'opportuna potenza \(1/x^p\) tenendo conto che, per \(x\to+\infty\), \(\log x\) diverge a \(+\infty\) più lentamente di qualsiasi potenza positiva di \(x\).
"Petruccioli":
infatti se $p=2$ si ottiene:
$f^2(x)=(1)/(x(log(x))^(2/3))$
L'integrale di \(f^2\) è calcolabile elementarmente:
\[
\int_2^\infty f^2(x)\ \text{d} x = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\log x}\Bigg|_2^\infty =\infty
\]
quindi \(f\notin L^2(2,\infty)\), come diceva la soluzione al tuo esercizio (che infatti è \(p>2\)).
grazie mille a entrambi,
quindi per completare, considerando la funzione nell'intervallo $\(0,1/2) e (1/2,1)$
dovrei avere convergenza nel primo intervallo nei 2 casi :
1) $\ AAbeta$ se $\alpha<1$
poichè il polo determinato da $\1/x^alpha$ è di ordine minore del polo di $\1/x$ in zero nonostante la presenza di uno zero
determinato da $\1/log(x)^beta$
2)$\alpha=1$ e $\beta>1$ poichè il polo di per se non convergente determinato da $\1/x$ è "frenato" dallo zero di $\1/log(x)^beta$
nel caso invece di $\alpha>1$ non si ha mai convergenza.
per quanto riguarda il secondo intervallo invece immagino che la situazione non dipenda più da $\alpha$ , però non riesco a dire altro, pare che io abbia rimosso tutto sul logaritmo...come lo confronto? mi conviene farne lo sviluppo in serie di taylor centrato in 1 ?
grazie
quindi per completare, considerando la funzione nell'intervallo $\(0,1/2) e (1/2,1)$
dovrei avere convergenza nel primo intervallo nei 2 casi :
1) $\ AAbeta$ se $\alpha<1$
poichè il polo determinato da $\1/x^alpha$ è di ordine minore del polo di $\1/x$ in zero nonostante la presenza di uno zero
determinato da $\1/log(x)^beta$
2)$\alpha=1$ e $\beta>1$ poichè il polo di per se non convergente determinato da $\1/x$ è "frenato" dallo zero di $\1/log(x)^beta$
nel caso invece di $\alpha>1$ non si ha mai convergenza.
per quanto riguarda il secondo intervallo invece immagino che la situazione non dipenda più da $\alpha$ , però non riesco a dire altro, pare che io abbia rimosso tutto sul logaritmo...come lo confronto? mi conviene farne lo sviluppo in serie di taylor centrato in 1 ?
grazie
facendo un attimo un raffronto col caso della funzione considerata nell'intervallo $\(2,oo)$, mi sono reso conto che
probabilmente la convergenza "attorno ad 1" ovvero in un qualsiasi intervallo tipo $\(q,1)$ oppure $\(1,q)$ ove $\q!=0,oo$
c'è $\AAalpha,beta$, poichè esso tende a zero per così dire, lentamente, quindi il polo che genera è di ordine inferiore a $\1/x^a$ qualsiasi sia a.....sto ragionando "giusto" ?
probabilmente la convergenza "attorno ad 1" ovvero in un qualsiasi intervallo tipo $\(q,1)$ oppure $\(1,q)$ ove $\q!=0,oo$
c'è $\AAalpha,beta$, poichè esso tende a zero per così dire, lentamente, quindi il polo che genera è di ordine inferiore a $\1/x^a$ qualsiasi sia a.....sto ragionando "giusto" ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo