Funzione strettamente convessa
Definizione (stessa cosa per le funzioni concave):
se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $
se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $
Perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " ( cioè non vale piu' il viceversa)?
Non trovo un controesempio in cui f'' sia >0 ma la f non sia strettamente convessa!
Grazie
se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $
se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $
Perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " ( cioè non vale piu' il viceversa)?
Non trovo un controesempio in cui f'' sia >0 ma la f non sia strettamente convessa!
Grazie
Risposte
"olanda2000":
se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $
se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $
Scrivi (spero l'abbia scritto tu e non il tuo docente/libro di testo) i connettivi logici come li scriverebbe il maestro Yoda, ossia "$f$ strettamente convessa è, se $f''(x)>0$ è".
Così, se non hai già le idee chiare, non si capisce nulla. Le implicazioni si scrivono "se $p$ è vera allora $q$ è vera", quindi mettendo il "se" alla fine della frase devi interpretare la prima parte "è strettamente convessa" come la $q$ e la seconda parte come la $p$.
Nel caso delle equivalenze logiche (ossia i se e solo se), puoi scriverle come ti pare proprio perché una implica l'altra e quindi come le metti le metti funziona.
Scritto meglio: l'implicazione che vuoi negare è "se $f$ è strettamente convessa allora $f''(x)>0$" (quantificando negli insiemi opportuni, anche questo sarebbe stato meglio specificarlo. A proposito: quali insiemi? Qual è il dominio di $f$? E il codominio? Dove deve essere derivabile due volte $f$?).
Le implicazioni si negano come "$p$ e non $q$", quindi devi trovare un caso in cui è vera $f$ strettamente convessa ed è vero non $f''(x) > 0$; ovvero $f$ strettamente convessa ed $f''(x) \leq 0$.
"olanda2000":
Non trovo un controesempio in cui f'' sia >0 ma la f non sia strettamente convessa!
Ci credo che non lo trovi, l'hai pure enunciato tu il teorema che recita $f''(x)>0$ implica $f$ strettamente convessa! Quella non vera è "$f$ strettamente convessa implica $f''(x)>0$"; ora puoi provare a trovare un controesempio.
"olanda2000":
Definizione (stessa cosa per le funzioni concave):
se f è derivabile 2 volte , è convessa se e solo se $ f'' >= 0 $
se f è derivabile 2 volte , è strettamente convessa se $ f'' > 0 $
Perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " ( cioè non vale piu' il viceversa)?
Il motivo è lo stesso per cui non vale "se $f$ strettamente crescente allora $f^\prime >0$".
P.S.: questo è un teorema, non una definizione.
"Mephlip":
Ci credo che non lo trovi, l'hai pure enunciato tu il teorema che recita $f''(x)>0$ implica $f$ strettamente convessa! Quella non vera è "$f$ strettamente convessa implica $f''(x)>0$"; ora puoi provare a trovare un controesempio.
Il controesempio l'ho trovato: la funzione $ x^4 $ è strettamente convessa nell'origine ma la sua derivata seconda è nulla nell'origine. Va bene come esempio?
Rimane la domanda : perchè nel caso di stretta convessità "se e solo se" diventa "se " nel teorema ?( cioè non vale piu' il viceversa).
Fra l'altro il teorema l'ho copiato letteralmente dal libro di testo.
Siccome "se e solo se" significa doppia implicazione <----> , il controesempio dovrebbe negare
<------ , lasciando vero solo ------> .
Giusto?
Grazie
A parte il fatto che "convessa nell'origine" non ha senso (la convessità è una proprietà globale, non puntuale), hai appena costruito esplicitamente un esempio che mostra la falsità, in generale, dell'implicazione "se $f$ strettamente convessa allora $f^{\prime \prime} > 0$"; quindi che non valga $=>$ è ovvio.
La dimostrazione del viceversa, cioè di "se $f^{\prime \prime} > 0$ allora $f$ è strettamente convessa", la trovi su ogni testo pressoché decente di Analisi I.
E se non la trovi puoi vedere qui.
La dimostrazione del viceversa, cioè di "se $f^{\prime \prime} > 0$ allora $f$ è strettamente convessa", la trovi su ogni testo pressoché decente di Analisi I.
E se non la trovi puoi vedere qui.
grazie, a pag 17 (punto 3.2) viene chiarito il mio dubbio, con un teorema molto piu' semplice e che include tutti i casi ! garzie
Sì, lo so... Ma "molto più semplice" rispetto a cosa?
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