Funzione strana
Ciao 
qualche giorno fa parlavo con una mia collega e mi disse se riuscissi a trovare una funzione definita in un intervallo aperto non vuoto $J$ e che sia derivabile in tutto $J$ ma con derivata discontinua in ogni punto.
E' possibile che ciò accada?
Sicuramente la derivata prima non può avere salti, inoltre una funzione derivabile mi pare che goda della proprietà di darboux ma non penso che da questo possa concludere nulla.
Avete idee?
qualche giorno fa parlavo con una mia collega e mi disse se riuscissi a trovare una funzione definita in un intervallo aperto non vuoto $J$ e che sia derivabile in tutto $J$ ma con derivata discontinua in ogni punto.
E' possibile che ciò accada?
Sicuramente la derivata prima non può avere salti, inoltre una funzione derivabile mi pare che goda della proprietà di darboux ma non penso che da questo possa concludere nulla.
Avete idee?
Risposte
Ciao anto, no è impossibile.
Una conseguenza del teorema di Baire è la seguente:
Sia $I \subset \mathbb{R} $ un intervallo non vuoto. Sia \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni continue tali che $f_n : I \to \mathbb{R} $ per ogni $n \in \mathbb{N}$. Se le $f_n$ convergono puntualmente a una funzione $f$, allora $f$ è continua in un sottoinsieme denso di $I$.
Siccome la derivata di una funzione continua può essere vista come il limite puntuale di una successione di funzioni continue, è fatta.
Una conseguenza del teorema di Baire è la seguente:
Sia $I \subset \mathbb{R} $ un intervallo non vuoto. Sia \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni continue tali che $f_n : I \to \mathbb{R} $ per ogni $n \in \mathbb{N}$. Se le $f_n$ convergono puntualmente a una funzione $f$, allora $f$ è continua in un sottoinsieme denso di $I$.
Siccome la derivata di una funzione continua può essere vista come il limite puntuale di una successione di funzioni continue, è fatta.
Invece può essere discontinua su $QQnnJ$?
Ciao otta, in linea di principio si, perché in realtà la conclusione del teorema di Baire che citavo sopra è che $f$ deve essere continua su un $G_{\delta}$ denso in $I$. Essendo $\mathbb{Q}$ di seconda categoria si può fare.
In effetti un esempio che ho trovato è questo:
Sia
\[ g(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) \quad & x \ne 0 \\ 0 \quad & x=0 \end{cases} \]
Sia \( \{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) un'enumerazione di $ (0,1) \cap \mathbb{Q} $ e sia
\[ f(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{g(x-r_n)}{n^2} \quad \quad x \in (0,1) \]
Allora si può dimostrare che $f$ è differenziabile in ogni punto di $(0,1)$ ma $f'$ è discontinua su $ (0,1) \cap \mathbb{Q} $.
In effetti un esempio che ho trovato è questo:
Sia
\[ g(x) = \begin{cases} x^2\sin(1/x) \quad & x \ne 0 \\ 0 \quad & x=0 \end{cases} \]
Sia \( \{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) un'enumerazione di $ (0,1) \cap \mathbb{Q} $ e sia
\[ f(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{g(x-r_n)}{n^2} \quad \quad x \in (0,1) \]
Allora si può dimostrare che $f$ è differenziabile in ogni punto di $(0,1)$ ma $f'$ è discontinua su $ (0,1) \cap \mathbb{Q} $.
Ciao Bremen, grazie mille!
Non conoscevo quel teorema, proprio non ne ho mai sentito parlare
@bremen
[ot]a che anno sei?[/ot]
Non conoscevo quel teorema, proprio non ne ho mai sentito parlare
@bremen
[ot]a che anno sei?[/ot]
Ciao, il teorema di Baire o lo si vede in topologia generale o lo si vede in analisi funzionale. Lì ha veramente un sacco di "applicazioni" interessanti, che in realtà sono alcuni dei teoremi più noti dell'analisi funzionale (mappa aperta, uniforme limitatezza ecc...).
@anto
[ot]Ho finito il quarto ma di .... ingegneria matematica![/ot]
@anto
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