Funzione soluzione di equazione differenziale

[AnalisiZero]

Ciao,

Mi è capitato in questo esercizio :
$y'+2xy-xy^3=0$
Di non riuscire alla fine ad isolare $y$ per trovare l'integrale generale. Trovo :
$y/(y^2-2)=e^(-2x^2-4c)$

In questi casi come si dovrebbe fare?

Se può essere utile l'ho risolta come equazione a variabili separabili.

Grazie.

[seb1]

Mi pare che la tua soluzione sia errata. Però, ammettendo pure che sia corretta ed escludendo la soluzione stazionaria \(y=0\), si ha:\[\frac{y}{y^2-2}=e^{-2x^2-4c}\implies\frac{y^2-2}{y}=e^{2(x^2+2c)}\implies y^2-e^{2(x^2+2c)}y-2=0\]polinomio di secondo grado di cui puoi calcolare le radici.

[AnalisiZero]

Ho capito come fare per isolare $y$. Posto qualche passaggio per vedere dove ho sbagliato.

$y'+2xy-xy^3=0$
$y'=x(y^3-2y)$
$y=0$ è l'integrale singolare.
Se invece $y!=0$ si ha:

$intdy/(y^3-2y)=intxdx$
Il secondo è immediato, il primo l'ho risolto scomponendolo in fratti semplici, così:
$1/(y^3-2y)=A/y+B/(y+sqrt2)+C/(y-sqrt2)$
Fin qui ci sono errori?

Grazie.

[seb1]

No, tutto giusto, tranne che devi aggiungere pure la condizione \(y^2\neq2\). Risolto il sistema ti trovi \(A=-{}^1\!/\!_2\) e \(B=C={}^1\!/\!_4\).

[AnalisiZero]

Sono gli stessi 3 termini che ho trovato io. Forse ho trovato l'errore, di manipolazione di valore assoluto.

Ora trovo alla fine $y^2/|y^2-2|=e^(-2x-4c)$.
Ora torna?

[seb1]

Yes

[AnalisiZero]

Grazie mille.

[gugo82]

"AnalisiZero":Ciao,

Mi è capitato in questo esercizio :
$y'+2xy-xy^3=0$
Di non riuscire alla fine ad isolare $y$ per trovare l'integrale generale. Trovo :
$y/(y^2-2)=e^(-2x^2-4c)$

In questi casi come si dovrebbe fare?

Se può essere utile l'ho risolta come equazione a variabili separabili.

Grazie.

La EDO (del primo ordine, non lineare, omogenea) ha tre soluzioni costanti, cioè $y^\star (x)=sqrt(2)$, $y_\star(x)=-sqrt(2)$ ed $y_0(x)=0$.
Visto che, scrivendo la EDO in forma normale, il secondo membro è localmente lipschitziano rispetto ad $y$, siamo in regime di unicità delle soluzioni: pertanto i grafici di due soluzioni distinte dell’equazione non possono intersecarsi. Ne consegue che le soluzioni della EDO diverse da $y_\star$, $y^\star$ ed $y_0$ non assumono mai né il valore $0$ né i valori $+-sqrt(2)$; in altre parole, detta $y(x)$ una soluzione distinta dalle soluzioni costanti, o si ha ovunque $y(x)<-sqrt(2)$, oppure $-sqrt(2)sqrt(2)$.

Fatte queste considerazioni, la EDO si risolve integrando ed eliminando gli eventuali valori assoluti derivanti dalle integrazioni tenendo presenti le informazioni sul segno di $y(x)$ ed $y^2(x)-2$ derivanti dal ragionamento precedente.