Funzione semicontinua
Ho un dubbio riguardo la definizione di funzione semicontinua. Ho anche provato a cercare in rete, ma non ho trovato nulla riguardo a ciò che mi interessa. Il problema è che la definizione ci è stata data per un insieme chiuso.
Riporto la definizione che ho sul quaderno:
Sia $X$ chiuso. Una funzione $f:X to RR$ si dice semicontinua inferiormente in $x_0 in X$ se, per ogni successione $(x_n)$ in $X$ tale che $x_n to x_0$ e nell'ipotesi che $f(x_n)$ ammetta limite, allora $lim_n f(x_n) >= f(x_0)$.
Vorrei sapere se questa definizione è giusta e, in caso contrario, sarei grato a chi mi fornisse le opportune modifiche. Chiaramente ciò che cerco non è una qualunque definizione di successione semicontinua, ma mi occorre la definizione in termini di successioni approssimanti ed inoltre vorrei capire se la definizione cambia eliminando l'ipotesi di $X$ chiuso. Non capisco inoltre quell'ipotesi riguardo l'esistenza del limite di $f(x_n)$, in quanto nella definizione di funzione continua per successioni quell'ipotesi di esistenza non c'è. Nessuno si allarmi per eventuali errori grossolani, potrei aver preso appunti imprecisi per via della fretta.
Riporto la definizione che ho sul quaderno:
Sia $X$ chiuso. Una funzione $f:X to RR$ si dice semicontinua inferiormente in $x_0 in X$ se, per ogni successione $(x_n)$ in $X$ tale che $x_n to x_0$ e nell'ipotesi che $f(x_n)$ ammetta limite, allora $lim_n f(x_n) >= f(x_0)$.
Vorrei sapere se questa definizione è giusta e, in caso contrario, sarei grato a chi mi fornisse le opportune modifiche. Chiaramente ciò che cerco non è una qualunque definizione di successione semicontinua, ma mi occorre la definizione in termini di successioni approssimanti ed inoltre vorrei capire se la definizione cambia eliminando l'ipotesi di $X$ chiuso. Non capisco inoltre quell'ipotesi riguardo l'esistenza del limite di $f(x_n)$, in quanto nella definizione di funzione continua per successioni quell'ipotesi di esistenza non c'è. Nessuno si allarmi per eventuali errori grossolani, potrei aver preso appunti imprecisi per via della fretta.
Risposte
Che strano, di solito si presenta senza l'ipotesi che $f(x_n)$ ammetta limite, semplicemente prendendo il liminf nella disuguaglianza anzichè il limite, comunque vabbè, a parte quello è ok.
Certo che comunque serve che $X$ sia chiuso, altrimenti come fai ad essere sicuro che $x_n$ converge ad un punto di $X$?
P.S. 1: Ma dove siamo? Spazi di Banach, Hilbert o che altro?
P.S. 2: Se ti interessa ho una dispensina breve fatta molto bene (è fatta per gli spazi di Hilbert però), se vuoi te la mando, al peggio se non ti piace la butti nel cess...tino.
Solo non metterla online o simili perchè il prof. non vuole.
Ciao.
Certo che comunque serve che $X$ sia chiuso, altrimenti come fai ad essere sicuro che $x_n$ converge ad un punto di $X$?
P.S. 1: Ma dove siamo? Spazi di Banach, Hilbert o che altro?
P.S. 2: Se ti interessa ho una dispensina breve fatta molto bene (è fatta per gli spazi di Hilbert però), se vuoi te la mando, al peggio se non ti piace la butti nel cess...tino.
Solo non metterla online o simili perchè il prof. non vuole.Ciao.
"amel":
Che strano, di solito si presenta senza l'ipotesi che $f(x_n)$ ammetta limite, semplicemente prendendo il liminf nella disuguaglianza anzichè il limite
Il professore ci ha detto che in genere la definizione di semicontinuità è legata al concetto di limite inferiore, ma per ora non lo ha ancora introdotto, per cui ci ha voluto dare una definzione che non fa riferimento al limite inferiore. La semicontinuità ci serviva per dare un risultato simile al teorema di Weierstrass in cui si indeboliva l'ipotesi di continuità.
"amel":
Certo che comunque serve che $X$ sia chiuso, altrimenti come fai ad essere sicuro che $x_n$ converge ad un punto di $X$?
A dire il vero, a me sembra che il fatto che $(x_n)$ tenda a $x_0$ e che $x_0$ appartenga ad $X$ sia un'ipotesi.
La definizione è: per ogni $(x_n)$ in $X$ tale che $x_n to x_0$ ecc.ecc.
Non è così?
"amel":
P.S. 1: Ma dove siamo? Spazi di Banach, Hilbert o che altro?
Molto più semplice. Siamo in $RR^k$
Ok, chiarito il problema. Ipotizzo $X$ chiuso ma non ipotizzo $x_0 in X$, tanto l'ipotesi che $X$ è chiuso implica automaticamente che $x_0 in X$. Tutto quadra, grazie!!
Scusa, devo rettificare, non è vero quello che ti ho detto sulla chiusura! (Il resto è giusto, però).
Va bene un insieme qualunque (ad ogni modo chiaramente quello che scrivi tu non è sbagliato, qui è equivalente).
In effetti, l'ipotesi di chiusura non è necessaria, ma mi pareva di ricordare che era per un qualche motivo, mah... mi ricordavo male.
Per farmi perdonare ti indico questo link, che forse è anche più utile di quello che ti stavo per mandare per quello che cerchi:
http://users.dimi.uniud.it/~lorenzo.fre ... 8_cap2.pdf
Scusa ancora, ciao.
Va bene un insieme qualunque (ad ogni modo chiaramente quello che scrivi tu non è sbagliato, qui è equivalente).
In effetti, l'ipotesi di chiusura non è necessaria, ma mi pareva di ricordare che era per un qualche motivo, mah... mi ricordavo male.
Per farmi perdonare ti indico questo link, che forse è anche più utile di quello che ti stavo per mandare per quello che cerchi:
http://users.dimi.uniud.it/~lorenzo.fre ... 8_cap2.pdf
Scusa ancora, ciao.
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