Funzione scalino

[Borraccia1]

Salve a tutti, riporto la definizione de mio libro di funzione a scalino:
“Sia $I$ intervallo di $\mathbb{R}$. Una funzione $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ si dice a scalino se esiste una suddivisione $D$ di $I$ tale che $f$ sia costante su ciascuno degli intervalli aperti che compongono $I\D$ ”
Ora il mio dubbio è il seguente:
1) Una funzione a scalino è limitata?
2) Nella definizione di funzione a scalino, non bisogna specificare che la suddivisione di $I$ sia finita?(in questo modo sono sicuro che la funzione non incrementi in maniera incontrollata)?
Ringrazio in anticipo tutti per l’attenzione.

[gio73]

Ciao
Rispondo a sentimento, nella speranza che intervenga qualcun altro a confermare o smentire

Facciamo degli intervalli facili $[0;1); [1;2); [2;3)$... ma anche$ [-1;0); [-2;-1)$...
In questo modo il nostro dominio va da $-oo$ a $+oo$
Ora assegniamo a ciascuno intervallo un valore costante

$[0;1) -> 0,5$
$[1;2)-> 1,5$
$[-1;0) -> -0,5$

e così via

Direi che non è limitata

[ingres]

Una funzione a scala o a gradino non è in generale limitata.
Ad esempio, la funzione parte intera [x] è una funzione a scala illimitata che da sola risponde ad entrambe le domande 1) e 2) e che, peraltro, rappresenta bene, anche graficamente, il concetto di "scala".

E' da sottolineare solo che:
a) la partizione o suddivisione, se infinita, è numerabile,
b) una partizione infinita non significa che la funzione sia per forza illimitata come codominio (es. funzione parte decimale)

Per ulteriori dettagli si può vedere ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_gradino