Funzione reale di variabile reale continua in un solo punto non isolato ma con inversa non continua in quel punto

[marco2132k]

Ciao. Dato un \( x_0\in \mathbb R \) stavo cercando di costruire una funzione a valori reali definita su un sottoinsieme di \( \mathbb R \) avente \( x_0 \) come punto di accumulazione con le seguenti proprietà:

[*:3lz93din] \( f \) è invertibile;[/*:m:3lz93din]
[*:3lz93din] \( f \) è continua in \( x_0 \);[/*:m:3lz93din]
[*:3lz93din] l'inversa \( f^{-1} \) di \( f \) non è continua in \( f(x_0) \).[/*:m:3lz93din][/list:u:3lz93din]
Se ci si pensa un attimo, ci si accorge che una tale funzione non può essere continua in nessun intorno di \( x_0 \), ma l'unica funzione con questa proprietà che mi viene in mente è la solita
\[
f(x) =
\begin{cases}
x & \text{se \( x\in \mathbb Q \)}\\
-x & \text{se \( x\not\in\mathbb Q \)}
\end{cases}
\] che se non sbaglio ha inversa ancora continua in \( f(0) \).

[cooper1]

se $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ è iniettiva e continua, allora anche l'inversa $f^{-1}: f((a,b)) \to \mathbb{R}$ è continua.
per cui direi che non c'è speranza di trovare una tale funzione.

[cooper1]

ah no, forse ho male interpretato la domanda. intendi in sottoinsiemi anche più generali di un intervallo immagino...
allora direi che un esempio possa essere dato da $f: [0,1) \uu [2,3] \to [2,3]$ definita da
\[
f(x) :=
\begin{cases}
x \quad \text{se} \quad x \in [0,1) \\
x-1 \quad \text{se} \quad x \in [2,3]
\end{cases}
\]

[otta96]

Si bravo cooper

[marco2132k]

Ciao, sì, come dicevo (sempre che non mi sbagli) una funzione del genere, se è definita su un qualche intervallo, dev'essere discontinua in ogni intorno di \( x_0 \) contenuto nell'intervallo.

Poi, non capisco perché la tua funzione va bene. Non è continua in 1 (e non ha range pari a \( [2,3] \)).

[otta96]

Sul range hai ragione, mi sono dimenticato di segnalarlo, deve essere $[0,2]$, quanto all'$1$... non ha senso porsi la questione della continuità in un punto che non appartiene al dominio, no?

[cooper1]

ovviamente sul range avete ragione. i copia/incolla non fanno mai bene, non me ne ero nemmeno accorto.
per la continuità, come dice otta96, 1 non appartiene al dominio.

[marco2132k]

Ah okay, ho capito. Nella mia testa l'\( 1 \) stava attaccato al \( 2 \)

Grazie!