Funzione R2 in p - "decresca ma non subito" caso strano
Buongiorno a tutti!
Dovendo preparare un esame universitario mi sono trovato di fronte ad un quesito il quale mi ha spiazzata quasi del tutto:
Riassumendo (nel caso in cui serva il testo completo di dati posso postarlo, ho evitato per avere solo la spiegazione teorica in modo da provare a svolgerlo poi da solo) mi trovo di fronte ad una funzione a due variabili definita da R2 su R e un punto. La domanda è: "quale angolo rispetto al semiasse x positivo il mio vettore di spostamento deve seguire perché io non scenda immediatamente dopo la partenza"
Non riesco quasi nemmeno a trovare un punto da cui far partire un ragionamento.
In principio, facendo un'analogia con una funzione a una variabile ho pensato: quando avevo una f(x) cercavo un punto stazionario (per ritrovarmi in una situazione "simile" al scende ma non subito), un punto che magari oltre ad essere stazionario si rivelava poi un punto di massimo e quindi in un suo intorno la funzione risultava minore della funzione nel punto stesso. Ma poi pensandoci meglio io sto cercando qualcosa che "non scenda immediatamente dopo la partenza" e non riesco bene a tradurre questo concetto con gli argomenti fatti. O meglio, non mi sembra di aver mai visto qualcosa riguardante al "decresce, ma non subito" (ovviamente, visto la domanda, mi sbaglio ma non riesco a trovare nulla né sul libro e nemmeno online dato che non so come tradurre questa domanda nelle giuste parole chiave per avere un risultato visto che non capisco a cosa sta alludendo con "non scenda immediatamente" )
Spero che qualcuno riesca ad illuminarmi.
Dovendo preparare un esame universitario mi sono trovato di fronte ad un quesito il quale mi ha spiazzata quasi del tutto:
Riassumendo (nel caso in cui serva il testo completo di dati posso postarlo, ho evitato per avere solo la spiegazione teorica in modo da provare a svolgerlo poi da solo) mi trovo di fronte ad una funzione a due variabili definita da R2 su R e un punto. La domanda è: "quale angolo rispetto al semiasse x positivo il mio vettore di spostamento deve seguire perché io non scenda immediatamente dopo la partenza"
Non riesco quasi nemmeno a trovare un punto da cui far partire un ragionamento.
In principio, facendo un'analogia con una funzione a una variabile ho pensato: quando avevo una f(x) cercavo un punto stazionario (per ritrovarmi in una situazione "simile" al scende ma non subito), un punto che magari oltre ad essere stazionario si rivelava poi un punto di massimo e quindi in un suo intorno la funzione risultava minore della funzione nel punto stesso. Ma poi pensandoci meglio io sto cercando qualcosa che "non scenda immediatamente dopo la partenza" e non riesco bene a tradurre questo concetto con gli argomenti fatti. O meglio, non mi sembra di aver mai visto qualcosa riguardante al "decresce, ma non subito" (ovviamente, visto la domanda, mi sbaglio ma non riesco a trovare nulla né sul libro e nemmeno online dato che non so come tradurre questa domanda nelle giuste parole chiave per avere un risultato visto che non capisco a cosa sta alludendo con "non scenda immediatamente" )
Spero che qualcuno riesca ad illuminarmi.
Risposte
Direi che serve il testo preciso.
"Si consideri la funzione $ f(x,y) = 2*x^(2)*y^(2) - x^(2)*y $. Supponiamo di essere in posizione $ P = (1, 1, 1) $ sul grafico di f. Quale angolo (rispetto al semiasse x positivo) il mio vettore di spostamento deve seguire perché io non scenda, immediatamente dopo la partenza?"
(spero che i "termini matematici" siano leggibili, è la prima volta che utilizzo questa sintassi e grazie per l'attenzione
)
(spero che i "termini matematici" siano leggibili, è la prima volta che utilizzo questa sintassi e grazie per l'attenzione
)
In sostanza ti sta chiedendo la cosa seguente: quale direzione devo seguire, nel piano $xOy$ (fornire l'angolo rispetto all'asse $x$ equivale a dare una direzione in tale piane) in modo da essere sicuro che la funzione, in tale direzione, risulti non decrescente? Mi pare ovvio che vada usata una derivata direzionale arbitraria e da questa va dedotto quale sia la direzione giusta. Hai qualche idea?
l'unica cosa che mi viene in mente a proposito della derivata direzionale è che me la posso trovare, per tutte le direzioni, partendo dal gradiente e facendo i dovuti calcoli. In teoria so che il gradiente mi indica la direzione di massima crescita sulla superficie partendo dal punto specificato. ma per quanto riguarda il non decrescente non saprei =(
Allora, in sostanza hai già detto tutto ma ti sei perso in una stupidata. Una direzione generica del piano è data dal vettore $v(t)=(\cos t,\sin t)$ (tra l'altro è anche un versore unitario), mentre il gradiente della funzione nel punto dato vale $\nabla f(1,1)=(2,3)$ (lascio a te verificare questo calcolo). A questo punto la derivata direzionale generica risulta
$$\partial_v f(1,1)=(\cos t,\sin t)\bullet(2,3)=2\cos t+3\sin t=g(t)$$
La funzione scritta sopra rappresenta la direzione di crescita (o decrescita) a partire dal punto $P$. Al fine di determinarne le direzioni in cui "non scenda" dobbiamo calcolare in quali casi la funzione originale lungo la direzione sia "non decrescente": per cui imponiamo tale funzione sia maggiore o uguale di zero (essa rappresenta proprio l'andamento della superficie lungo la direzione fissata):
$$g(t)\ge 0\ \Rightarrow\ 2\cos t+3\sin t t\ge 0$$
Lascio a te la risoluzione.
$$\partial_v f(1,1)=(\cos t,\sin t)\bullet(2,3)=2\cos t+3\sin t=g(t)$$
La funzione scritta sopra rappresenta la direzione di crescita (o decrescita) a partire dal punto $P$. Al fine di determinarne le direzioni in cui "non scenda" dobbiamo calcolare in quali casi la funzione originale lungo la direzione sia "non decrescente": per cui imponiamo tale funzione sia maggiore o uguale di zero (essa rappresenta proprio l'andamento della superficie lungo la direzione fissata):
$$g(t)\ge 0\ \Rightarrow\ 2\cos t+3\sin t t\ge 0$$
Lascio a te la risoluzione.
@ciampax
Non basta porre $partial_(vec(v))f(1,1)geq0$ per vedere in quali direzioni è crescente?
Non basta porre $partial_(vec(v))f(1,1)geq0$ per vedere in quali direzioni è crescente?
E non è quello che ho fatto?
Perché chiedi che la derivata della derivata direzionale sia positiva? Non basta porre soltanto la derivata direzionale positiva?
(Non sto facendo polemica, sono interessato sul serio)
(Non sto facendo polemica, sono interessato sul serio)
"anto_zoolander":
Perché chiedi che la derivata della derivata direzionale sia positiva? Non basta porre soltanto la derivata direzionale positiva?
(Non sto facendo polemica, sono interessato sul serio)
Ah.... sì, in effetti hai ragione. Stavo pensando al fatto di vedere dove cresce quella roba e non mi sono reso conto che avevo già la derivata. Coreggo sopra.
Io porrei particolare attenzione al caso $g(t)=0$.
Quindi riassumendo:
Calcolo il gradiente di $ f(x,y) = 2x^(2)y^(2) - x^(2)y $ nel punto $ P = (1, 1, 1) $ ottenendo così $ (2, 3) $.
Faccio il prodotto con il versore $ (cos t, sin t) $ e ottengo la mia derivata direzionale: $ 2cos t + 3sin t $.
A questo punto la impongo$ >=0 $ e ora portando al secondo membro $ 2cos t $, divido il tutto per $ cos t $ e poi per $ 3 $
ottengo a sinistra $ tan t $ e a destra $ -2/3 $ giusto?
EDIT: credo che avrei problemi per quanto riguarda $ t = pi/2 + k*pi $ (dato che al denominatore metterei zero!
)???
Calcolo il gradiente di $ f(x,y) = 2x^(2)y^(2) - x^(2)y $ nel punto $ P = (1, 1, 1) $ ottenendo così $ (2, 3) $.
Faccio il prodotto con il versore $ (cos t, sin t) $ e ottengo la mia derivata direzionale: $ 2cos t + 3sin t $.
A questo punto la impongo$ >=0 $ e ora portando al secondo membro $ 2cos t $, divido il tutto per $ cos t $ e poi per $ 3 $
ottengo a sinistra $ tan t $ e a destra $ -2/3 $ giusto?
EDIT: credo che avrei problemi per quanto riguarda $ t = pi/2 + k*pi $ (dato che al denominatore metterei zero!
)???
Non hai problemi perché i valori per cui il denominatore si annulla non sono soluzioni (dimostralo!), comunque i casi in cui $g(t)=0$, ovvero quando $t=arctan(-2/3)$ e $t=arctan(-2/3)+pi$ (avendo deciso di considerare $(cost,sint),t\in[-pi,pi]$) vanno studiati con più attenzione.
non capisco in che senso con più attenzione =\
Comunque, oltre ad essere interessato alla tua risposta, volevo chiedervi se effettivamente il risultato è $ tan t >= -2/3 $ ?
Dato che l'esercizio presenta un risultato differente
Comunque, oltre ad essere interessato alla tua risposta, volevo chiedervi se effettivamente il risultato è $ tan t >= -2/3 $ ?
Dato che l'esercizio presenta un risultato differente
Usa $3sin(t)+2cos(t)=sqrt(13)sin(x+arctan(2/3))$, così il tutto è più agevole.
"unielli95":
non capisco in che senso con più attenzione =\
Quello che voglio dire è che se la derivata di una funzione in una variabile è nulla in un punto, non è detto che esista un intorno (anche solo destro o sinistro) in cui la funzione è non crescente, che è ciò che ci interessa.
Comunque, oltre ad essere interessato alla tua risposta, volevo chiedervi se effettivamente il risultato è $ tan t >= -2/3 $ ?
Si, è giusto.
Dato che l'esercizio presenta un risultato differente
Forse perché il tuo libro esprime le soluzioni in termini di $t$ piuttosto che di $tant$?
non credo, ho una serie di risposte "possibili". Quelle nelle soluzioni marcata come vera è $ tan t >= -4/3 $ =(
per completezza, le altre sono
1) $ sin t <= 3/4 $
2) $ 3sin t - 4cos t +2 >= 0$
3) t qualsiasi nell'intervallo $ [n/4, 3n/4] $
per completezza, le altre sono
1) $ sin t <= 3/4 $
2) $ 3sin t - 4cos t +2 >= 0$
3) t qualsiasi nell'intervallo $ [n/4, 3n/4] $
Mi sembra un po' stano.... sei sicuro che il testo sia giusto?
a questo punto inizio a dubitare delle risposte, visto che comunque facendo i calcoli con voi risulta $ -2/3 $ =\
Comunque che sia giusta o sbagliata la risposta non mi cambia molto, l'importante è aver capito come fare questo tipo di esercizio, grazie a tutti! =)
EDIT: secondo me c'è stato un errore di battitura nella domanda, infatti mettendo 3 al posto che 2 come esponente alla prima x si trova per l'appunto $ -4/3 $
Comunque che sia giusta o sbagliata la risposta non mi cambia molto, l'importante è aver capito come fare questo tipo di esercizio, grazie a tutti! =)
EDIT: secondo me c'è stato un errore di battitura nella domanda, infatti mettendo 3 al posto che 2 come esponente alla prima x si trova per l'appunto $ -4/3 $
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