Funzione "a periodo infinito"

[Riccardo Desimini]

Sia \( f : [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione non periodica di \( t \) e sia \( f_T \) la funzione definita da
\[ f_T(t) = \cases{f(t) & per \( -\frac{T}{2} < t < \frac{T}{2} \) \\ \text{periodica di periodo } T} \]

C'è un modo analitico per far vedere che
\[ \lim_{T \rightarrow +\infty} f_T(t) = f(t) \]?

[Plepp]

Io non ne ho la più pallida idea ma mi sembra che la funzione $f_T(t)$ vada definita in $[0,T[$, non in $]$$-T/2,T/2[$.

[Seneca1]

Salvo l'osservazione di Plepp, si tratta, in sostanza, di provare la convergenza puntuale della successione di funzioni $f_T$ (puoi limitarti a considerare il caso $T \in \mathbb{N}$ per semplicità). Devi provare quindi che, fissato comunque $t \in [0 +oo)$, $\forall \epsilon > 0$, $\exists \bar{T}$ tale che $\forall T > \bar{T}$
\[ | f_T(t) - f(t) | < \epsilon \]
Tuto sta nel fatto che $| f_T(t) - f(t) |$ è $0$ quando $T > t$.

[Riccardo Desimini]

Ma quindi è sbagliato scegliere l'intervallo che ho scelto io? No, dai, non credo: in fondo è la stessa cosa, basta che la sua lunghezza sia effettivamente \( T \).

Grazie per il suggerimento.

[Seneca1]

Prendi per esempio $T = 2$. La funzione $f_1(t)$ è definita come $f(t)$ in $[- 1 , 1 ]$, ma il dominio di $f$ è $[0, +oo)$...

[Riccardo Desimini]

Ho capito perché è nato il problema: è stato il fatto che ho definito \( f \) in \( [0, +\infty) \).

In effetti, se uso la variabile \( t \) interpretandola come un tempo hai ragione tu, ma in generale se \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) posso scegliere degli intervalli qualsiasi di lunghezza \( T \), questo è sicuro.