Funzione prolungabile,massimi e minimi.

[insule23]

Ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

Dire (e giustificare) se la funzione

$f(x,y,z)= xylogy+xylogx $

è o non è prolungabile nei punti (0,y),$0<=y$ e nei punti (x,0), $0<=x$.

Studiare massimi e minimi nell'insieme $E={(x,y,)| x^2+y^2<=4}$

spero che mi aiuterete.
grazie.

[ciampax]

Tu cosa faresti? Se non proponi...

[insule23]

Inizio calcolandomi il dominio che risulta essere:
$D= \{ x,y|x>0,y>0 \}$

quindi posso scrivere la funzione come:
$xylogy+xylogx=xy[logy+logx]=xylogxy$

ora doveri studiare se esiste:
$\lim_{x \to 0\, y \to0 }f(x,y)$
e calcolarne il valore.

e qui che mi blocco. non riesco a risolvere il limite ed ad andare avanti con l'esercizio.
se mi puoi aiutare.
grazie.

[Studente Anonimo]

Veramente, dovresti procedere calcolando tutti i limiti sottostanti:

$[lim_((x,y)->(x_0,0))f(x,y)] ^^ [x_0 gt 0]$

$[lim_((x,y)->(0,y_0))f(x,y)] ^^ [y_0 gt 0]$

$[lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)]$

[insule23]

quindi ho che:
$\lim_{(x,y) \to(0,0) }xy\, \, log xy=0$

gli altri non riesco proprio.
mi sono bloccato se mi potete, per favore, aiutare.
grazie.

[Studente Anonimo]

Poiché la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante, dei due limiti sottostanti:

$[lim_((x,y)->(x_0,0))f(x,y)] ^^ [x_0 gt 0]$

$[lim_((x,y)->(0,y_0))f(x,y)] ^^ [y_0 gt 0]$

puoi tranquillamente svolgerne uno solo. Quindi, solo dopo aver dimostrato che la funzione è eventualmente prolungabile con continuità su entrambi i semiassi positivi, puoi dedicarti all'ultimo limite:

$[lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)]$

Premesso che si può applicare la seguente proprietà:

$[EE lim_(x->x_0)f_1(x)=l_1] ^^ [EE lim_(y->y_0)f_2(y)=l_2] rarr [EE lim_((x,y)->(x_0,y_0))f_1(x)f_2(y)=l_1l_2]$

Passo 1

$[lim_((x,y)->(x_0,0))xylogx=x_0logx_0*lim_(y->0)y=0] ^^ [lim_((x,y)->(x_0,0))xylogy=x_0*lim_(y->0)ylogy=0] rarr$

$rarr [lim_((x,y)->(x_0,0))(xylogx+xylogy)=0]$

Passo 2

$[lim_((x,y)->(0,0))xylogx=lim_(x->0)xlogx*lim_(y->0)y=0] ^^ [lim_((x,y)->(0,0))xylogy=lim_(x->0)x*lim_(y->0)ylogy=0] rarr$

$rarr [lim_((x,y)->(0,0))xylogx+xylogy=0]$

[insule23]

va bene.
quindi posso dire che la funzione è prolungabile nei punti appartenenti gli assi x e y.

ora come trovo i punti di massimo e minimo nell'insieme E.
se mi potete, per favore, aiutare.
grazie.