Funzione prolungabile coseno

[alessre]

Ciao,
mi potete aiutare con questo esercizio.

Assegnata la funzione:

[math]f(x,y)=\frac{x^2y^2cosxy}{x^2+y^2}[/math]

dire se è prolungabile per continuità in (0,0) e, in caso positivo, se è differenziabile nello stesso punto.
grazie :-)

[mc2]

usa le coordinate polari

[alessre]

ciao,
io ho provato in questo modo:
dobbiamo calcolare il limite della funzione in due variabili:

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{2}y^{2}cosxy}{x^{2}+y^{2}}[/math]

per x=0,il limite per y che tende a zero della funzione è zero, e quindi o il limite

[math]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{2}y^{2}cosxy}{x^{2}+y^{2}}[/math]

è uguale a zero,cioè la funzione è prolungabile,oppure non esiste e la funzione non è prolungabile.

fatto ciò ho difficoltà a calcolare il limite.
se mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

Devi usare le coordinate polari: x=r cos theta, y=r sin theta e poi calcoli il limite per r-> 0. Se trovi che e` un numero finito INDIPENDENTE da theta la funzione e` prolungabile.

[alessre]

allora abbiamo che:

[math]\lim_{r \to 0} \frac{r^{2}cos^{2}\theta r^{2}sen^{2}\theta}{r^{2}cos^{2}\theta+ r^{2}sen^{2}} [/math]

[math]\lim_{r \to 0} \tfrac{r^{4}cos^{2}\theta sen^{2}\theta}{r^{2}(cos^{2}\theta+sen^{2}\theta )} [/math]

siccome

[math]cos^{2}\theta+sen^{2}=1[/math]

segue:

[math]\lim_{r \to 0} \tfrac{r^{4}cos^{2}\theta sen^{2}\theta}{r^{2}}[/math]

ora come devo fare.
mi puoi spiegare per favore.
grazie.