Funzione potenza con esponente razionale
Secondo voi, qual è il modo corretto di studiare \(\displaystyle f(x)=x^{n/d} \) ?
Secondo il mio libro di testo, se \(\displaystyle d \) è pari la funzione è studiabile solo per \(\displaystyle x\ge0 \), se invece è dispari viene studiata su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \). E se \(\displaystyle n \) è pari la funzione è pari, se dispari anche la funzione è dispari.
Il che equivale a dire che \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}=(x^n)^{1/d} \) .
Tuttavia a meno che esista una convenzione o un valido motivo matematico nulla vieterebbe di dire che \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}=(x^{1/d})^n\) .
Facendo un ricerca molti dicono che per aver senso, la funzione può essere studiata solo per \(\displaystyle x\ge0 \) in caso di esponente razionale.
Tuttavia se provo a disegnare la funzione con un qualsiasi software, non si hanno problemi a rappresentare la funzione per\(\displaystyle x<0 \) sia con \(\displaystyle d \) pari che dispari.
Ma ciò che ottengo è una funzione \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}\ne(x^n)^{1/d}\ne(x^{1/d})^n \) ne pari ne dispari.
Da ciò ho ipotizzato che in caso di base negativa non è valida la proprietà delle potenze di potenze, e che un software approssima la funzione razionale così come farebbe in caso di esponente irrazionale.
Ma da ciò mi chiedo è il mio libro che sbaglia o non esiste una convenzione per risolverle?
Secondo il mio libro di testo, se \(\displaystyle d \) è pari la funzione è studiabile solo per \(\displaystyle x\ge0 \), se invece è dispari viene studiata su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \). E se \(\displaystyle n \) è pari la funzione è pari, se dispari anche la funzione è dispari.
Il che equivale a dire che \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}=(x^n)^{1/d} \) .
Tuttavia a meno che esista una convenzione o un valido motivo matematico nulla vieterebbe di dire che \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}=(x^{1/d})^n\) .
Facendo un ricerca molti dicono che per aver senso, la funzione può essere studiata solo per \(\displaystyle x\ge0 \) in caso di esponente razionale.
Tuttavia se provo a disegnare la funzione con un qualsiasi software, non si hanno problemi a rappresentare la funzione per\(\displaystyle x<0 \) sia con \(\displaystyle d \) pari che dispari.
Ma ciò che ottengo è una funzione \(\displaystyle f(x)=x^{n/d}\ne(x^n)^{1/d}\ne(x^{1/d})^n \) ne pari ne dispari.
Da ciò ho ipotizzato che in caso di base negativa non è valida la proprietà delle potenze di potenze, e che un software approssima la funzione razionale così come farebbe in caso di esponente irrazionale.
Ma da ciò mi chiedo è il mio libro che sbaglia o non esiste una convenzione per risolverle?
Risposte
L'affermazione corretta è che, se [tex]\frac{n}{d} \in \mathbb{Q}[/tex], deve essere \( x \geq 0 \). Poi, nel caso in cui si possa estendere la funzione anche per \( x < 0 \) senza perdere l'appartenenza ai numeri reali dei valori della funzione, in realtà si sta definendo un'altra funzione, che perde alcune proprietà rispetto a quella di partenza. Ad esempio:
\[ f(x) = x^{\frac{2}{3} } \]
non è invertibile se estendiamo il suo dominio ad \( \mathbb{R} \), perché perde l'iniettività. Estenderla vuol dire considerarla come:
\[ \overline {f} (x) = \sqrt[3] {x^2} \]
Oppure:
\[ f_\star (x) = \left ( \sqrt[3] {x} \right )^2 \]
Insomma, in entrambi i casi si sta cambiando la funzione; l'esponente razionale sparisce, lasciando il posto ad una composizione di funzioni. Non è formalmente corretto dire che la funzione originale ha \( \mathbb{R} \) come dominio.
\[ f(x) = x^{\frac{2}{3} } \]
non è invertibile se estendiamo il suo dominio ad \( \mathbb{R} \), perché perde l'iniettività. Estenderla vuol dire considerarla come:
\[ \overline {f} (x) = \sqrt[3] {x^2} \]
Oppure:
\[ f_\star (x) = \left ( \sqrt[3] {x} \right )^2 \]
Insomma, in entrambi i casi si sta cambiando la funzione; l'esponente razionale sparisce, lasciando il posto ad una composizione di funzioni. Non è formalmente corretto dire che la funzione originale ha \( \mathbb{R} \) come dominio.
Grazie, vorrei solo aggiungere che ho capito perché disegnando la funzione con un software ottenevo risultati discordanti.
Praticamente non specificavo il campo di studio e alcuni (tra cui Wolfram) studiavano la funzione in \(\displaystyle \mathbb{C} \) .
Impostando \(\displaystyle \mathbb{R} \), a parte qualche drawer online (pochi) che assumono \(\displaystyle f(x)=x^{n/d} = (x^n)^{1/d} \) tutti concordano che\(\displaystyle f(x)=x^{n/d} \)è studiabile solo per \(\displaystyle x\ge0 \).
Effettivamente credo che il mio libro abbia commesso un grave errore formale, sostituire la funzione con una composta non è la stessa cosa, poi basterebbe prendere una funzione con esponente irrazionale per capire non ha senso rappresentarla come composizione di funzioni...
Praticamente non specificavo il campo di studio e alcuni (tra cui Wolfram) studiavano la funzione in \(\displaystyle \mathbb{C} \) .
Impostando \(\displaystyle \mathbb{R} \), a parte qualche drawer online (pochi) che assumono \(\displaystyle f(x)=x^{n/d} = (x^n)^{1/d} \) tutti concordano che\(\displaystyle f(x)=x^{n/d} \)è studiabile solo per \(\displaystyle x\ge0 \).
Effettivamente credo che il mio libro abbia commesso un grave errore formale, sostituire la funzione con una composta non è la stessa cosa, poi basterebbe prendere una funzione con esponente irrazionale per capire non ha senso rappresentarla come composizione di funzioni...
È una cosa discussa decine e decine di volte su questo forum. Si tratta solo di convenzioni, io non vedo "gravi errori formali". Prova a fare una ricerca se vuoi altri punti di vista.
Ho letto molti pareri diversi che mi hanno creato confusione, per questo ho aperto questa discussione.
Che io sappia la matematica non é un'opinione quindi quello che conta non é il punto di vista ma la convenzione adottata.
Se si tratta di una convenzione, la accetto senza problemi, tuttavia o la convenzione é universalmente accettata oppure nel testo bisogna scrivere che si assume \(\displaystyle x^{n/d}:=(x^n)^{1/d} \) altrimenti si commette un errore di forma.
Poi a me sorge questo dubbio:
Supponiamo di voler studiare \(\displaystyle f(x,y)=x^y \) su \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), la studiereste in modo discontinuo in x negativo per ogni y razionale con denominatore dispari?
Che io sappia la matematica non é un'opinione quindi quello che conta non é il punto di vista ma la convenzione adottata.
Se si tratta di una convenzione, la accetto senza problemi, tuttavia o la convenzione é universalmente accettata oppure nel testo bisogna scrivere che si assume \(\displaystyle x^{n/d}:=(x^n)^{1/d} \) altrimenti si commette un errore di forma.
Poi a me sorge questo dubbio:
Supponiamo di voler studiare \(\displaystyle f(x,y)=x^y \) su \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), la studiereste in modo discontinuo in x negativo per ogni y razionale con denominatore dispari?
Cerca una discussione con ViciousGoblin e Sergio di alcuni anni fa, ne parlarono a lungo. Personalmente ritengo l'argomento non troppo interessante e piuttosto cavilloso. In generale uno prende potenze con indice non intero solo di numeri positivi, oppure adotta il punto di vista complesso e lì si apre tutto un mondo.
Grazie, aggiungo il link come riferimento cosí può essere utile ad altri: viewtopic.php?f=3&t=36572&hilit=dispari&start=10
"stefano.balzarotti":
...
Che io sappia la matematica non é un'opinione quindi quello che conta non é il punto di vista ma la convenzione adottata.
Se si tratta di una convenzione, la accetto senza problemi, tuttavia o la convenzione é universalmente accettata oppure nel testo bisogna scrivere che si assume \(\displaystyle x^{n/d}:=(x^n)^{1/d} \) altrimenti si commette un errore di forma.
La fregatura è che ci sono tante convenzioni stabilite implicitamente, oppure standard nel contesto in cui si opera. Vedi ad esempio il fatto che 0 alla 0 è uguale a 1, quando si lavora con le serie di potenze. O la convenzione sui punti di sella in teoria dei giochi, testé menzionata: viewtopic.php?p=8247226#p8247226
A mio parere bisogna vivere la matematica in modo rilassato.
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