Funzione particolare
Sia $Phi in C^0 ([0,1])$, sia $Psi: RR->RR$ continua e limitata. Poniamo $M=Sup_{x inRR} |Psi(x)|$, $H=max_{x in[0,1]} |Phi(x)| +M$. Valgano le 2 proprietà:
a) $EE k in RR: |Psi(x)-Psi(y)|<=k|x-y|, AA x,y in [-H,H]$
b) $EE bar x,bar y in [-H,H], bar x != bar y: Psi(bar x)=bar x, Psi(bar y)=bar y.
1. Trovare un esempio di funzione $Psi$ siffatta.
Per ogni $h in C^0 ([0,1])$ si definisca $T(h)(x)=Phi(x)+int_{0}^{x} Psi(h(s)) ds $ si provi che:
2. $T(h) in C^0 ([0,1]), AA h in C^0 ([0,1])$
3. $T$ trasforma il sottoinsieme $X_H ={f: f in C^0 ([0,1]), max_{x in [0,1]} |f(x)| <= H}$ di $C^0 ([0,1])$ in se stesso.
Tra un po' posterò le mie soluzioni per i primi due punti e qualche idea per il terzo.
a) $EE k in RR: |Psi(x)-Psi(y)|<=k|x-y|, AA x,y in [-H,H]$
b) $EE bar x,bar y in [-H,H], bar x != bar y: Psi(bar x)=bar x, Psi(bar y)=bar y.
1. Trovare un esempio di funzione $Psi$ siffatta.
Per ogni $h in C^0 ([0,1])$ si definisca $T(h)(x)=Phi(x)+int_{0}^{x} Psi(h(s)) ds $ si provi che:
2. $T(h) in C^0 ([0,1]), AA h in C^0 ([0,1])$
3. $T$ trasforma il sottoinsieme $X_H ={f: f in C^0 ([0,1]), max_{x in [0,1]} |f(x)| <= H}$ di $C^0 ([0,1])$ in se stesso.
Tra un po' posterò le mie soluzioni per i primi due punti e qualche idea per il terzo.
Risposte
Per il primo punto ho pensato di porre $Phi(x)=0,x in[0,1]$. Quindi una funzione $Psi$ che soddisfi le proprietà richieste dovrebbe essere:
$Psi(x)=(5x)/(x^2 +1)$
Verifica:
$Psi'(x)=(5(1-x^2))/((x^2+1)^2)$
Dallo studio del segno della derivata prima si trovano un massimo e un minimo relativi, che sono anche assoluti: $(+-1,+-5/2)$.
Dunque $H=5/2$.
(condizione b) Cercando i punti fissi si trovano $bar x=2$ e $bar y=-2$
(condizione a) $Psi''(x)=(10x(x^2 -3))/((x^2+1)^3)$. Si trova che la derivata prima ha un massimo in modulo $Psi'(0)=5$. Dunque funziona con $k=5$, altrimenti, per il teorema di Lagrange si dovrebbe avere un punto con derivata prima maggiore di $5$ in modulo.
Oppure in modo più brutale:
$|(5x)/(x^2+5)-(5y)/(y^2+5)|<=5|x-y|$
$(|xy^2+5x-x^2y-5y|)/((x^2+5)(y^2+5))<=|x-y|$
$(|5-xy| |x-y|)/((x^2+5)(y^2+5))<=|x-y|$
$(|5-xy|)/((x^2+5)(y^2+5))<=(|5-xy|)/25<=(45)/(100)<=1$ Ok.
$Psi(x)=(5x)/(x^2 +1)$
Verifica:
$Psi'(x)=(5(1-x^2))/((x^2+1)^2)$
Dallo studio del segno della derivata prima si trovano un massimo e un minimo relativi, che sono anche assoluti: $(+-1,+-5/2)$.
Dunque $H=5/2$.
(condizione b) Cercando i punti fissi si trovano $bar x=2$ e $bar y=-2$
(condizione a) $Psi''(x)=(10x(x^2 -3))/((x^2+1)^3)$. Si trova che la derivata prima ha un massimo in modulo $Psi'(0)=5$. Dunque funziona con $k=5$, altrimenti, per il teorema di Lagrange si dovrebbe avere un punto con derivata prima maggiore di $5$ in modulo.
Oppure in modo più brutale:
$|(5x)/(x^2+5)-(5y)/(y^2+5)|<=5|x-y|$
$(|xy^2+5x-x^2y-5y|)/((x^2+5)(y^2+5))<=|x-y|$
$(|5-xy| |x-y|)/((x^2+5)(y^2+5))<=|x-y|$
$(|5-xy|)/((x^2+5)(y^2+5))<=(|5-xy|)/25<=(45)/(100)<=1$ Ok.
Guarda che [tex]$\Phi$[/tex] è assegnata, quindi puoi sceglierla a caso. 
Più semplicemente, basta prendere:
[tex]$\Psi (x)=\begin{cases} M &\text{, se $x\geq M$} \\ x &\text{, se $-M\leq x\leq M$} \\ -M &\text{, se $x\leq -M$} \end{cases}$[/tex].
Una [tex]$\Psi (x)$[/tex] siffatta ha per punti fissi tutti i punti di [tex]$[-M,M]\subset [-H,H]$[/tex], è Lipschitziana con costante [tex]$k=1$[/tex] dappertutto (e quindi anche in [tex]$[-H,H]$[/tex]); quindi credo vada benissimo per il punto 1.
I punti 2 e 3 sono banali (teorema fondamentale del calcolo integrale e maggiorazione del modulo dell'integrale).
Più semplicemente, basta prendere:
[tex]$\Psi (x)=\begin{cases} M &\text{, se $x\geq M$} \\ x &\text{, se $-M\leq x\leq M$} \\ -M &\text{, se $x\leq -M$} \end{cases}$[/tex].
Una [tex]$\Psi (x)$[/tex] siffatta ha per punti fissi tutti i punti di [tex]$[-M,M]\subset [-H,H]$[/tex], è Lipschitziana con costante [tex]$k=1$[/tex] dappertutto (e quindi anche in [tex]$[-H,H]$[/tex]); quindi credo vada benissimo per il punto 1.
I punti 2 e 3 sono banali (teorema fondamentale del calcolo integrale e maggiorazione del modulo dell'integrale).
Per il punto 2 invece basterebbe osservare che la funzione integranda è continua perchè composizione di funzioni continue, che legittima l'integrale di Riemann. La funzione integrale è continua.
Quindi $T(h)$ è somma di funzioni continue.
Per il punto 3 invece:
$f in X_H => |T(f)(x)|<=max_{x in[0,1]} |Phi(x)| +M|x|}$, tenendo conto che $|x|<=1$ e della definizione di H, e del fatto che $T$ è continua su $[0,1]$, si conclude che $T(f)(x) in X_H$.
E il viceversa?
Quindi $T(h)$ è somma di funzioni continue.
Per il punto 3 invece:
$f in X_H => |T(f)(x)|<=max_{x in[0,1]} |Phi(x)| +M|x|}$, tenendo conto che $|x|<=1$ e della definizione di H, e del fatto che $T$ è continua su $[0,1]$, si conclude che $T(f)(x) in X_H$.
E il viceversa?
Che vuol dire "il viceversa"?
Hai appena mostrato che [tex]$T(X_H)\subseteq X_H$[/tex], quindi sei a posto.
Hai appena mostrato che [tex]$T(X_H)\subseteq X_H$[/tex], quindi sei a posto.
"gugo82":
Che vuol dire "il viceversa"?
Hai appena mostrato che [tex]$T(X_H)\subseteq X_H$[/tex], quindi sei a posto.
Mi pare che si debba dimostrare anche che $T(X_H) supe X_H$. O no?
Definisco una distanza, $d_{rho} (h,g) = max{|h(x)-g(x)|e^(-rho x) : x in [0,1]}$, con $rho < k$. Voglio provare che in base a questa metrica $T$ è una contrazione su $X_H$.
Avendo già provato $T(X_H) sube X_H$, mi basta provare che $d_{rho} (T(h),T(g)) <= L d_{rho} (h,g)$ con $0<=L<1$.
$d_{rho} (T(h),T(g))=max{int_{0}^{x} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x): x in[0,1]}$
Questo massimo si può avere o agli estremi ($x in{0; 1}$) o in un punto in cui si annulli la derivata della funzione di $x$ entro parentesi.
In quest'ultimo caso si trova che:
$d_{rho} (T(h),T(g))= int_{0}^{x_M} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds *e^(-rho x_M)$
$= (|Psi(h(x_M))-Psi(g(x_M))|)/(rho)*e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) |h(x_M)-g(x_M)|e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) d_{rho} (h,g) $
Il caso $x_M=0$ non è ragionevole poichè la distanza sarebbe nulla. Per il caso $x_M =1$ si impone la non negatività della derivata in 1 e da qui il procedimento è analogo.
E' corretta questa dimostrazione?
Avendo già provato $T(X_H) sube X_H$, mi basta provare che $d_{rho} (T(h),T(g)) <= L d_{rho} (h,g)$ con $0<=L<1$.
$d_{rho} (T(h),T(g))=max{int_{0}^{x} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x): x in[0,1]}$
Questo massimo si può avere o agli estremi ($x in{0; 1}$) o in un punto in cui si annulli la derivata della funzione di $x$ entro parentesi.
In quest'ultimo caso si trova che:
$d_{rho} (T(h),T(g))= int_{0}^{x_M} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds *e^(-rho x_M)$
$= (|Psi(h(x_M))-Psi(g(x_M))|)/(rho)*e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) |h(x_M)-g(x_M)|e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) d_{rho} (h,g) $
Il caso $x_M=0$ non è ragionevole poichè la distanza sarebbe nulla. Per il caso $x_M =1$ si impone la non negatività della derivata in 1 e da qui il procedimento è analogo.
E' corretta questa dimostrazione?
Nell'ultimo post mi interessa sapere se ho commesso errori concettuali, non i conti nel dettaglio.
"robbstark":
Definisco una distanza, $d_{rho} (h,g) = max{|h(x)-g(x)|e^(-rho x) : x in [0,1]}$, con $rho < k$. Voglio provare che in base a questa metrica $T$ è una contrazione su $X_H$.
Avendo già provato $T(X_H) sube X_H$, mi basta provare che $d_{rho} (T(h),T(g)) <= L d_{rho} (h,g)$ con $0<=L<1$.
$d_{rho} (T(h),T(g))=max{int_{0}^{x} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x): x in[0,1]}$
Non è vero che $d_\rho (Th,Tg)$ ha quell'espressione lì: infatti dalla definizione che hai dato discende:
[tex]$d_\rho (Th,Tg)=\max_{x\in [0,1]} e^{-\rho x} \left| \int_0^x \Psi (h)-\Psi(g) \right|$[/tex]
ed in generale la quantità a secondo membro è strettamente minore di [tex]\max_{x\in [0,1]} e^{-\rho x}\ \int_0^x |\Psi (h)-\Psi (g)|[/tex].
"robbstark":
Questo massimo si può avere o agli estremi ($x in{0; 1}$) o in un punto in cui si annulli la derivata della funzione di $x$ entro parentesi.
In quest'ultimo caso si trova che:
$d_{rho} (T(h),T(g))= int_{0}^{x_M} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds *e^(-rho x_M)$
$= (|Psi(h(x_M))-Psi(g(x_M))|)/(rho)*e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) |h(x_M)-g(x_M)|e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) d_{rho} (h,g) $
Sinceramente non capisco come passi dal secondo membro al terzo nella tua catena d'uguaglianze.
"gugo82":
Non è vero che $d_\rho (Th,Tg)$ ha quell'espressione lì: infatti dalla definizione che hai dato discende:
[tex]$d_\rho (Th,Tg)=\max_{x\in [0,1]} e^{-\rho x} \left| \int_0^x \Psi (h)-\Psi(g) \right|$[/tex]
ed in generale la quantità a secondo membro è strettamente minore di [tex]\max_{x\in [0,1]} e^{-\rho x}\ \int_0^x |\Psi (h)-\Psi (g)|[/tex].
Ok, qui ho sbagliato nel tradurre la definizione di distanza. Comunque visto che mi serve maggiorare la distanza, posso usare questa disequazione e trovarne il massimo: se trovo che è minore della distanza tra $h$ e $g$ per una costante compresa tra 0 e 1, dimostro che $T$ è contrazione; altrimenti sarei costretto ad usare l'uguaglianza per potere concludere.
"gugo82":
[quote="robbstark"]Questo massimo si può avere o agli estremi ($x in{0; 1}$) o in un punto in cui si annulli la derivata della funzione di $x$ entro parentesi.
In quest'ultimo caso si trova che:
$d_{rho} (T(h),T(g))= int_{0}^{x_M} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds *e^(-rho x_M)$
$= (|Psi(h(x_M))-Psi(g(x_M))|)/(rho)*e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) |h(x_M)-g(x_M)|e^(-rho x_M) $
$<= k/(rho) d_{rho} (h,g) $
Sinceramente non capisco come passi dal secondo membro al terzo nella tua catena d'uguaglianze.[/quote]
Voglio calcolare il massimo di $int_{0}^{x} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x)$. Questo è uguale alla funzione calcolata in un certo punto per cui si ha il massimo, che ho chiamato $x_M$. Se $x_M in ]0,1[$ allora è un punto in cui si annulla la derivata rispetto a $x$ della funzione:
$d/(dx) [int_{0}^{x} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x)]_{x_M} =|Psi(h(x_M))-Psi(g(x_M))|*e^(-rho x_M) -rho int_{0}^{x_M} |Psi(h(s))-Psi(g(s))|ds*e^(-rho x_M) =0$
Da qui isolo l'integrale e sostituisco nell'espressione del massimo.
Adesso funziona?
Ah, carino! Non ci avevo pensato. 
Comunque sì, credo funzioni.
Comunque sì, credo funzioni.
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