Funzione olomorfa
Ciao, ho questo esercizio:
Sia $phi : O(CC) -> App(CC,RR)$ con $phi(f) = Re(f)$ cioè alla parte reale di f con $O(CC)$ l'insieme delle funzioni olomorfe e $App(CC,RR)$ le applicazioni di insiemi.
È poi dato $p(x,y)=x^2+2*a*x*y + b*y^2$. Dire per quali $a$ e $b$ reali questo appartiene all'insieme immagine di $phi$.
Io ho pensato così: visto che $f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)$ e in questo caso $u(x,y) = p(x,y)$ visto che dovrebbe appartenere all'insieme delle immagini, e dato che $f$ generica deve essere olomorfa allora deve soddisfare la condizione di Cauchy-Riemann (le due equazioni differenziali alle derivate parziali): $dv/dy = 2x + 2ay$ e $dv/dx = -2ax -2by$. Da qua ricavo l'incognita $v(x,y)$. Abbiamo integrando la prima su y: $v(x,y) = 2xy + ay^2 + c(x)$ e derivando questa per x: $2y + c'(x)$ che dovrà essere uguale alla già nota $-2ax-2by$. Quindi segue che $b=-1$ mentre $a$ può essere qualsiasi, avendo in definitiva $v(x,y) = 2xy+ay^2-ax^2$. È corretto?
Poi mi dice di studiare l'insieme $phi^(-1) (p(x,y))$ tenendo conto di $a$ e $b$ per trovare il nucleo $ker(phi)$. A me pare che l'insieme da studiare lo ho già "studiato", cioè ho trovato la possibile forma di $f$ che appartiene a $O(CC)$. Non saprei come altro fare.
Per quanto riguarda il nucleo come $ker(phi)={f : phi(f) = 0}$ si sa che $phi(f)=Re(f)=0$ e quindi che $p(x,y)=x^2+2axy-y^2=0$. Qua potrei dire $a=0$ e quindi $x^2=y^2$ però non so come scriverlo in modo corretto il nucleo di $phi$. Spero di aver esposto in modo chiaro il problema essendo di fretta.
Grazie a chi risponde.
Sia $phi : O(CC) -> App(CC,RR)$ con $phi(f) = Re(f)$ cioè alla parte reale di f con $O(CC)$ l'insieme delle funzioni olomorfe e $App(CC,RR)$ le applicazioni di insiemi.
È poi dato $p(x,y)=x^2+2*a*x*y + b*y^2$. Dire per quali $a$ e $b$ reali questo appartiene all'insieme immagine di $phi$.
Io ho pensato così: visto che $f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)$ e in questo caso $u(x,y) = p(x,y)$ visto che dovrebbe appartenere all'insieme delle immagini, e dato che $f$ generica deve essere olomorfa allora deve soddisfare la condizione di Cauchy-Riemann (le due equazioni differenziali alle derivate parziali): $dv/dy = 2x + 2ay$ e $dv/dx = -2ax -2by$. Da qua ricavo l'incognita $v(x,y)$. Abbiamo integrando la prima su y: $v(x,y) = 2xy + ay^2 + c(x)$ e derivando questa per x: $2y + c'(x)$ che dovrà essere uguale alla già nota $-2ax-2by$. Quindi segue che $b=-1$ mentre $a$ può essere qualsiasi, avendo in definitiva $v(x,y) = 2xy+ay^2-ax^2$. È corretto?
Poi mi dice di studiare l'insieme $phi^(-1) (p(x,y))$ tenendo conto di $a$ e $b$ per trovare il nucleo $ker(phi)$. A me pare che l'insieme da studiare lo ho già "studiato", cioè ho trovato la possibile forma di $f$ che appartiene a $O(CC)$. Non saprei come altro fare.
Per quanto riguarda il nucleo come $ker(phi)={f : phi(f) = 0}$ si sa che $phi(f)=Re(f)=0$ e quindi che $p(x,y)=x^2+2axy-y^2=0$. Qua potrei dire $a=0$ e quindi $x^2=y^2$ però non so come scriverlo in modo corretto il nucleo di $phi$. Spero di aver esposto in modo chiaro il problema essendo di fretta.
Grazie a chi risponde.
Risposte
Nessuno per conferma/smentita e aiuto per ker/Nucleo?
Le $p(x,y)=x^2+2axy+by^2$ sono solo alcune delle funzioni che stanno in $R[phi]$ (il rango, l'immagine di $phi$), infatti $phi$ prende la parte reale di ogni funzione che sta in $O(CC)$. Ad esempio, $phi(e^z)=Re[e^z]=Re[e^(x+iy)]=e^x cos (y)$ non è certo nella forma $p(x,y)$. Il nucleo di $phi$ è, come hai giustamente scritto ${f in O(CC):phi(f)=Re[f]=0}$. Già la descrizione dell'insieme sarebbe sufficiente, comunque si può scrivere anche così: $Ker[phi]$ è l'insieme delle $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)$ tali che $u(x,y)=0$ $forall z in CC$.
Per la prima parte, non ho controllato i conti ma passare per le CR mi pare corretto.
Per la prima parte, non ho controllato i conti ma passare per le CR mi pare corretto.
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