Funzione nulla, derivata prima minore uguale zero
ciao a tutti...
avrei bisogno di una mano su come dimostrare che la derivata prima è minore uguale a zero sapendo che la funzione è uguale a zero.
$f:[a,b]$
$f(x)=0$
f'(x) ≤ 0 ??
grazie mille!!
avrei bisogno di una mano su come dimostrare che la derivata prima è minore uguale a zero sapendo che la funzione è uguale a zero.
$f:[a,b]$
$f(x)=0$
f'(x) ≤ 0 ??
grazie mille!!
Risposte
La funzione è nulla solo in un punto o dovunque?
non lo sappiamo, nell'intervallo abbiamo per certo che f(a) e f(b) sono = a zero, mentre gli altri punti non li sappiamo.
Per favore, formula bene il problema; i tuoi due post si contraddicono.
Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile e tale che
• f (a) = f (b) = 0
• f ′ (a) = f ′
+(a) > 0, f ′ (b) = f ′
+(b)
| > 0.
Dimostrare che esiste c
∈ (a, b) tale che f (c) = 0 e f ′ (c) ≤ 0.
• f (a) = f (b) = 0
• f ′ (a) = f ′
+(a) > 0, f ′ (b) = f ′
+(b)
| > 0.
Dimostrare che esiste c
∈ (a, b) tale che f (c) = 0 e f ′ (c) ≤ 0.
Puoi definire $A = \{x\in (a,b): f(t) > 0\ \forall t\in (a,x)\}$.
1) Poiché $f'_+(a) > 0$, si ha che $A\ne \emptyset$ (perché?)
Definiamo dunque $c= "sup" A$.
2) Poiché $f'_{-} (b) > 0$, si ha che $c < b$ (perché?)
Inoltre, $f$ è continua (dal momento che è derivabile). Di conseguenza
3) $f(c) = 0$.
Usando la definizione di $c$ puoi ora dimostrare che $f'(c)\le 0$ (perché?).
1) Poiché $f'_+(a) > 0$, si ha che $A\ne \emptyset$ (perché?)
Definiamo dunque $c= "sup" A$.
2) Poiché $f'_{-} (b) > 0$, si ha che $c < b$ (perché?)
Inoltre, $f$ è continua (dal momento che è derivabile). Di conseguenza
3) $f(c) = 0$.
Usando la definizione di $c$ puoi ora dimostrare che $f'(c)\le 0$ (perché?).
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