Funzione Non integrabile che ammette Primitiva
Ciao ragazzi , sto studiando un'esempio di funzione che ammette primitiva ma non integrabile , ed è la seguente:
$ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $
Ma non viene specificato il perchè , qualcuno può spiegarmi?
$ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $
Ma non viene specificato il perchè , qualcuno può spiegarmi?
Risposte
In realtà questa funzione, essendo continua nell'origine, è integrabile su ogni intervallo limitato $[a,b]$.
Invece non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$, questo perché ha dei problemi all'infinito, infatti per $x \to +\infty$ si ha che:
$\sin (1/(x^2)) \approx 1/(x^2)$ per Taylor, dunque per confronto asintotico:
$\int_0^(+\infty) x^2 \sin(1/(x^2)) \ dx \ \approx \ \int_0^(+\infty) x^2/(x^2) \ dx = \int_0^(+\infty) 1 \ dx = +\infty$
Dunque la funzione non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$.
(ho utilizzato sia il fatto che la funzione integranda è pari, dunque basta controllare l'integrabilità solo su $[0, +\infty]$, dato che per le funzioni pari si ha che $\int_(\RR) f(x) \ dx = 2 \int_0^\infty f(x) \ dx $;
inoltre è possibile utilizzare il criterio del confronto asintotico essendo la funzione integranda di segno definitivamente costante - in particolare è sempre $\ge 0$ )
Invece non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$, questo perché ha dei problemi all'infinito, infatti per $x \to +\infty$ si ha che:
$\sin (1/(x^2)) \approx 1/(x^2)$ per Taylor, dunque per confronto asintotico:
$\int_0^(+\infty) x^2 \sin(1/(x^2)) \ dx \ \approx \ \int_0^(+\infty) x^2/(x^2) \ dx = \int_0^(+\infty) 1 \ dx = +\infty$
Dunque la funzione non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$.
(ho utilizzato sia il fatto che la funzione integranda è pari, dunque basta controllare l'integrabilità solo su $[0, +\infty]$, dato che per le funzioni pari si ha che $\int_(\RR) f(x) \ dx = 2 \int_0^\infty f(x) \ dx $;
inoltre è possibile utilizzare il criterio del confronto asintotico essendo la funzione integranda di segno definitivamente costante - in particolare è sempre $\ge 0$ )
Quindi fondamentalmente perchè non è limitata?
Non è che la funzione non sia limitata, attento! La funzione è limitata su $\RR$, proprio perché in 0 è continua ed inoltre $\lim_(x \to +\infty) x^2 \sin(1/(x^2)) = 1$
E' l'integrale che diverge all'infinito, dunque la funzione non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$, ma solo su intervalli di $\RR$ che "stanno lontani" dall'infinito.
Ad esempio è integrabile su $(1,1000000000)$ o anche su $(-99999999,0)$
E' l'integrale che diverge all'infinito, dunque la funzione non è integrabile in senso improprio su tutto $\RR$, ma solo su intervalli di $\RR$ che "stanno lontani" dall'infinito.
Ad esempio è integrabile su $(1,1000000000)$ o anche su $(-99999999,0)$
Ed è una primitiva perchè poi è derivabile ?
$ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $
Ti consiglio di rileggere per bene cosa è stato fatto e quale sia la definizione di primitiva e funzione integrabile.
La funzione $f(x)=$ \begin{cases} x^2 \sin( 1/x^2 ) \\ 0 \end{cases}
è integrabile su ogni intervallo limitato, essendo ivi continua; mentre non è integrabile su tutto $\RR$, poiché all'infinito l'integrale diverge.
Per il teorema fondamentale del calcolo, detta $F(x) = \int_a^x f(t) \ dt $, con $x \in \RR$, abbiamo che $F$ è una primitiva di $f$; inoltre $F$ è differenziabile e vale che, per ogni $x \in \RR$, $F'(x) = f(x)$.
Inoltre si può anche dire che $F(+\infty) = +\infty$, proprio perché l'integrale diverge quando $x \to +\infty$
Cioè la primitiva esiste, in quanto per esistere mi basta che la funzione sia continua sui limitati, ma $f$ non è integrabile su tutto $\RR$ poiché quando vado all'infinito mi si creano dei problemi
"Biagio2580":
Ed è una primitiva perchè poi è derivabile ?
Ti consiglio di rileggere per bene cosa è stato fatto e quale sia la definizione di primitiva e funzione integrabile.
La funzione $f(x)=$ \begin{cases} x^2 \sin( 1/x^2 ) \\ 0 \end{cases}
è integrabile su ogni intervallo limitato, essendo ivi continua; mentre non è integrabile su tutto $\RR$, poiché all'infinito l'integrale diverge.
Per il teorema fondamentale del calcolo, detta $F(x) = \int_a^x f(t) \ dt $, con $x \in \RR$, abbiamo che $F$ è una primitiva di $f$; inoltre $F$ è differenziabile e vale che, per ogni $x \in \RR$, $F'(x) = f(x)$.
Inoltre si può anche dire che $F(+\infty) = +\infty$, proprio perché l'integrale diverge quando $x \to +\infty$
Cioè la primitiva esiste, in quanto per esistere mi basta che la funzione sia continua sui limitati, ma $f$ non è integrabile su tutto $\RR$ poiché quando vado all'infinito mi si creano dei problemi
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