Funzione non integrabile...
Carissimi ragazzi, non son riuscito nell'impresa di trovare un esempio di funzione non integrabile secondo Lebesgue (ossia anche secondo lo stesso Riemann); confido nella vostra collaborazione.
Risposte
Non ho capito bene che cosa stai cercando.
Ad ogni modo, non mi pare che la caratteristica di $QQ cap [0,1]$ sia Riemann-integrabile (anche se è Lebesgue-integrabile).
Per ulteriori approfondimenti, comunque, puoi provare a guardare qui.
Ad ogni modo, non mi pare che la caratteristica di $QQ cap [0,1]$ sia Riemann-integrabile (anche se è Lebesgue-integrabile).
Per ulteriori approfondimenti, comunque, puoi provare a guardare qui.
"Paolo90":
Non ho capito bene che cosa stai cercando.
Ad ogni modo, non mi pare che la caratteristica di $QQ cap [0,1]$ sia Riemann-integrabile (anche se è Lebesgue-integrabile).
Per ulteriori approfondimenti, comunque, puoi provare a guardare qui.
Cerco una funzione non Lebesgue-integrabile.
Rafforzo la domanda: ma quello di Lebesgue è il modello di integrazione più completo?
Un po' starno quello che chiedi.
Comunque una funzione non integrabile è ad esempio una funzione non misurabile; oppure una funzione dove gli integrali di $f^+$ e $f^-$ sono entrmbi infiniti.
Comunque una funzione non integrabile è ad esempio una funzione non misurabile; oppure una funzione dove gli integrali di $f^+$ e $f^-$ sono entrmbi infiniti.
Sai che esistono insiemi non misurabili, ergo esistono funzioni non misurabili e quindi non integrabili (basta prendere la funzione caratteristica di un insieme non misurabile).
D'altra parte, esistono anche funzioni misurabili non integrabili secondo Lebesgue: ad esempio la funzione:
\[
f(x):=\begin{cases} 1/x &\text{, se } 0<|x|< 1 \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è misurabile ma non integrabile in \(]-1,1[\) (perché le parti positiva e negativa di \(f\) hanno entrambe integrale infinito).
D'altra parte, esistono anche funzioni misurabili non integrabili secondo Lebesgue: ad esempio la funzione:
\[
f(x):=\begin{cases} 1/x &\text{, se } 0<|x|< 1 \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è misurabile ma non integrabile in \(]-1,1[\) (perché le parti positiva e negativa di \(f\) hanno entrambe integrale infinito).
Non conoscevo questa funzione, gugo.
P.S. È il modello di integrazione più completo quello secondo Lebesgue?
P.S. È il modello di integrazione più completo quello secondo Lebesgue?
Mi pare anche che le funzioni che non sono sommabili non siano integrabili secondo Lebesgue.
"Lorin":
Mi pare anche che le funzioni che non sono sommabili non siano integrabili secondo Lebesgue.
Caspita, quindi ritorna anche in questo contesto il concetto di sommabilità?!?
P.S. Caspita sono arrivato a 1000(ora 1001) messaggi! 
Quando ho preparato l'esame di Analisi 3, trovai che la funzione $1/xsin(1/x) , x in (0,1)$ non era sommabile, e quindi non era integrabile secondo Lebesgue.
Tra l'altro questa funzione di solito è utilizzata anche per mettere in evidenza la sottile differenza tra l'integrazione secondo Riemann e quella di Lebesgue, perchè la suddetta funzione non è integrabile secondo Lebesgue, mentre secondo Riemann si. Penso che sono cose che vedrai più avanti comunque...
Tra l'altro questa funzione di solito è utilizzata anche per mettere in evidenza la sottile differenza tra l'integrazione secondo Riemann e quella di Lebesgue, perchè la suddetta funzione non è integrabile secondo Lebesgue, mentre secondo Riemann si. Penso che sono cose che vedrai più avanti comunque...
"Lorin":
Quando ho preparato l'esame di Analisi 3, trovai che la funzione $1/xsin(1/x) , x in (0,1)$ non era sommabile, e quindi non era integrabile secondo Lebesgue.
Tra l'altro questa funzione di solito è utilizzata anche per mettere in evidenza la sottile differenza tra l'integrazione secondo Riemann e quella di Lebesgue, perchè la suddetta funzione non è integrabile secondo Lebesgue, mentre secondo Riemann si. Penso che sono cose che vedrai più avanti comunque...
Non pensavo possibile una cosa del genere!
Provare che quella robaccia lì non è integrabile secondo Lebesgue è stato, in effetti, già fatto poco tempo fa sul forum.
Infatti per fissato \(x\in ]0,1]\) si ha:
\[
\begin{split}
\int_x^1 \frac{1}{t}\ \left|\sin \frac{1}{t}\right|\ \text{d} t &\stackrel{\tau =1/t}{=} \int_{1/x}^1 \tau |\sin \tau|\ \left( -\frac{1}{\tau^2}\right)\ \text{d} \tau\\
&= \int_1^{1/x} \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau \; ;
\end{split}
\]
quindi mandando \(x\to 0^+\) si ottiene:
\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\ \left| \sin \frac{1}{x}\right|\ \text{d} x = \int_1^\infty \frac{|\sin y|}{y}\ \text{d} y
\]
con abuso di notazione, perché ancora non ho provato che \(\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau\) esiste.
Il prossimo step è far vedere che il suddetto \(\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau\) esiste: ma questo fatto lo abbiamo dimostrato Giuly19 ed io in due modi diversi in questo thread.
Procedendo allo stesso modo trovi che per \(x\in ]0,1]\) è:
\[
\int_x^1 \frac{1}{t}\ \left|\sin \frac{1}{t}\right|\ \text{d} t = \int_1^{1/x} \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau
\]
quindi l'integrale improprio di Riemann \(\int_0^1 \frac{1}{x}\ \sin \frac{1}{x}\ \text{d} x\) esiste se esiste il:
\[
\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{\sin \tau}{\tau}\ \text{d}\tau\; .
\]
Che tale limite esista si dimostra con tecniche di Analisi Complessa (in cui però non voglio addentrarmi).
Quindi la funzione proposta da Lorin è impropriamente integrabile secondo Riemann, pur non essendo integrabile secondo Lebesgue.
***
Per rispondere alla tua domanda sulla generalità dell'integrale di Lebesgue dico quanto segue.
L'integrale di Lebesgue è molto potente: ad esempio, vedrai che il passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Lebesgue non richiede condizioni così restrittive come accade per l'integrale di Riemann (per effettuare il quale, in domini "grandi", in generale non basta nemmeno la convergenza uniforme*) e fornisce molte più funzioni integrabili (anche se parecchio "irregolari", come la funzione di Dirichlet).
Tuttavia per avere maggior generalità si deve rinunciare a chiamare integrabili quelle funzioni che "oscillano troppo" tra valori positivi e negativi, come quella dell'esempio di Lorin. Ma questa, in realtà, non è una gran contro se confrontato con tutti i pro che escono fuori dalla teoria di Lebesgue.
Anche per questo motivo la teoria di Lebesgue è usata da un secolo a questa parte più o meno nella sua forma originale, così come descritta da Lebesgue nella sua tesi Intégrale, Longueur, Aire pubblicata nel 1902 sugli Annali di Matematica Pura ed Applicata (e non in Francia, per motivi accademici).
__________
* [size=85]Ad esempio, considera in \([0,\infty[\) la successione di temine generale:
\[
f_n(x):=\begin{cases} 1/n &\text{, se } 0\leq x\leq n \\ 0 &\text{, altrimenti;}\end{cases}
\]
si vede facilmente che \((f_n)\) converge uniformemente verso la funzione nulla in \([0,\infty[\) e tuttavia si ha:
\[
0=\int_0^\infty \lim_n f_n(x)\ \text{d} x\neq \lim_n \int_0^\infty f_n(x)\ \text{d} x =1
\]
(l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che \(\int_0^\infty f_n(x)\ \text{d} x=1\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\)), quindi il passaggio al limite sotto il segno d'integrale non è lecito in \([0,\infty[\) nemmeno in regime di convergenza uniforme.[/size]
Infatti per fissato \(x\in ]0,1]\) si ha:
\[
\begin{split}
\int_x^1 \frac{1}{t}\ \left|\sin \frac{1}{t}\right|\ \text{d} t &\stackrel{\tau =1/t}{=} \int_{1/x}^1 \tau |\sin \tau|\ \left( -\frac{1}{\tau^2}\right)\ \text{d} \tau\\
&= \int_1^{1/x} \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau \; ;
\end{split}
\]
quindi mandando \(x\to 0^+\) si ottiene:
\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\ \left| \sin \frac{1}{x}\right|\ \text{d} x = \int_1^\infty \frac{|\sin y|}{y}\ \text{d} y
\]
con abuso di notazione, perché ancora non ho provato che \(\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau\) esiste.
Il prossimo step è far vedere che il suddetto \(\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau\) esiste: ma questo fatto lo abbiamo dimostrato Giuly19 ed io in due modi diversi in questo thread.
Procedendo allo stesso modo trovi che per \(x\in ]0,1]\) è:
\[
\int_x^1 \frac{1}{t}\ \left|\sin \frac{1}{t}\right|\ \text{d} t = \int_1^{1/x} \frac{|\sin \tau|}{\tau}\ \text{d}\tau
\]
quindi l'integrale improprio di Riemann \(\int_0^1 \frac{1}{x}\ \sin \frac{1}{x}\ \text{d} x\) esiste se esiste il:
\[
\lim_{y\to \infty} \int_1^y \frac{\sin \tau}{\tau}\ \text{d}\tau\; .
\]
Che tale limite esista si dimostra con tecniche di Analisi Complessa (in cui però non voglio addentrarmi).
Quindi la funzione proposta da Lorin è impropriamente integrabile secondo Riemann, pur non essendo integrabile secondo Lebesgue.
***
Per rispondere alla tua domanda sulla generalità dell'integrale di Lebesgue dico quanto segue.
L'integrale di Lebesgue è molto potente: ad esempio, vedrai che il passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Lebesgue non richiede condizioni così restrittive come accade per l'integrale di Riemann (per effettuare il quale, in domini "grandi", in generale non basta nemmeno la convergenza uniforme*) e fornisce molte più funzioni integrabili (anche se parecchio "irregolari", come la funzione di Dirichlet).
Tuttavia per avere maggior generalità si deve rinunciare a chiamare integrabili quelle funzioni che "oscillano troppo" tra valori positivi e negativi, come quella dell'esempio di Lorin. Ma questa, in realtà, non è una gran contro se confrontato con tutti i pro che escono fuori dalla teoria di Lebesgue.
Anche per questo motivo la teoria di Lebesgue è usata da un secolo a questa parte più o meno nella sua forma originale, così come descritta da Lebesgue nella sua tesi Intégrale, Longueur, Aire pubblicata nel 1902 sugli Annali di Matematica Pura ed Applicata (e non in Francia, per motivi accademici).
__________
* [size=85]Ad esempio, considera in \([0,\infty[\) la successione di temine generale:
\[
f_n(x):=\begin{cases} 1/n &\text{, se } 0\leq x\leq n \\ 0 &\text{, altrimenti;}\end{cases}
\]
si vede facilmente che \((f_n)\) converge uniformemente verso la funzione nulla in \([0,\infty[\) e tuttavia si ha:
\[
0=\int_0^\infty \lim_n f_n(x)\ \text{d} x\neq \lim_n \int_0^\infty f_n(x)\ \text{d} x =1
\]
(l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che \(\int_0^\infty f_n(x)\ \text{d} x=1\) per ogni \(n\in \mathbb{N}\)), quindi il passaggio al limite sotto il segno d'integrale non è lecito in \([0,\infty[\) nemmeno in regime di convergenza uniforme.[/size]
Esauriente come sempre, gugo.
@lorin- Destano tanto interesse queste funzioni con tali caratteristiche!
@lorin- Destano tanto interesse queste funzioni con tali caratteristiche!
Dai tempo al tempo, altrimenti non ti godi niente!
Se sono cose che ho studiato io, le studierai anche tu
Se sono cose che ho studiato io, le studierai anche tu
Speriamo Lorin!
@Lorin-Arriverò al tuo livello di conoscenze, un girono, e tu dove sarai?
Mi sento lusingato menale, ma punto più in alto di me. Ci sono tante persone molto più capaci e in gamba che ti possono stimolare...intendo docenti (da noi ce ne sono diversi) oppure qui sul forum, dove ti giri ti giri troverai qualcuno che per preparazione e conoscenza è un pozzo senza fine, davvero . Prendi questo forum come una sfida per migliorarti e per misurare le tue conoscenze con persone che studiano in altre realtà e con metodi diversi e vedrai che crescerai tanto...almeno a me è servito
. Prendi questo forum come una sfida per migliorarti e per misurare le tue conoscenze con persone che studiano in altre realtà e con metodi diversi e vedrai che crescerai tanto...almeno a me è servito
Anche io reputo questa piattaforma molto stimolante. Sprona a misurare se stessi in relazioni agli altri e, come da te sostenuto, con realtà e metodologie differenti dalla nostre.
La funzione di Dirichlet non è Riemann-integrabile.
"Flaviuz":
La funzione di Dirichlet non è Riemann-integrabile.
Ma lo è secondo Lebesgue.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo