Funzione non integrabile

[nadia891]

Ciao ragazzi è la prima volta che scrivo(sono iscritta da poco).
Ho un problema nel dimostrare che non è integrabile in $[0,1]$ secondo Reiman la funzione $f(x):= \{(1 " se x razionale") ,(0 " se x irrazionale "):}$.In pratica devo considerare due funzioni a scala $s$ e $t$ che sono rispettivamente inferiore e superiore a $f(x)$ poi calcolare il loro integrale e dimostrare che è diverso $"sup"int (s)dx$ da $"inf"int (t)dx$. Considerando però $s= \sum_{i=0}^\p\alpha(i)*chi_(Ii)$ trovo già difficoltà perchè per come ha proceduto il professore dovrei ottenere che $alpha(i)<=0$( e da qui che $int (s)dx <=0$) mentre a me verrebbe da dire $alpha(i)<=1$ poichè $s<=f(x)$.

[dissonance]

Reiman

Riemann

a me verrebbe da dire $alpha(i)<=1$ poichè $s<=f(x)$.

E no, rifletti bene sulla definizione di funzione a scala. Una funzione a scala è costante su un numero finito di intervalli; e non importa quanto piccolo, un intervallo contiene sempre dei numeri razionali. Su ogni numero razionale la $f$ si annulla - riassumendo (uso le tue notazioni): sull'intervallo $I_i$ deve essere $alpha(i)<="inf"f(I_i)$ e $"inf"f(I_i)=0$ (in effetti è il minimo di $f$) perché in $I_i$ cadono dei numeri razionali.

[nadia891]

in poche parole comunque piccolo è l'intervallo considerato, in questo intervallo ci sarà alameno un punto in cui la $f(x) <=0$ e pertanto $alpha(i)<=0$..giusto?