Funzione non concava
ciao a tutti! secondo voi è vero che una funzione continua non concava è strettamente convessa almeno in un intorno di un punto? intuitivamente, per continuità mi verrebbe da dire di si, ma non riesco a dimostrarlo. grazie mille
Risposte
In attesa di una dimostrazione migliore ti propongo questa:
se la $f$ è $CC^2(I)$
$f " concava " <=> AAx in I: f''(x)<=0$
quindi $f " non " " concava " <=> EEbarx in I t.c.: f''(barx)>0$
Quindi ci sarà tutto un intorno di $barx$ dove la derivata seconda sarà strettamente positiva, quindi la $f$ sarà strettamente crescente. Però non ho controllato bene le definizioni..
se la $f$ è $CC^2(I)$
$f " concava " <=> AAx in I: f''(x)<=0$
quindi $f " non " " concava " <=> EEbarx in I t.c.: f''(barx)>0$
Quindi ci sarà tutto un intorno di $barx$ dove la derivata seconda sarà strettamente positiva, quindi la $f$ sarà strettamente crescente. Però non ho controllato bene le definizioni..
si biagius questa dimostrazione mi convince, ma a me serve u continua...non so se è C^2
Un candidato potrebbe essere la funzione di Weierstrass.
Che è continua ma non è derivabile in nessun punto.
E' infatti noto che se una funzione è convessa su $RR^n$ è differenziabile due volte quasi ovunque (teorema di Aleksandrov).
Ovviamente quindi questo vale in particolare per un intervallo aperto di $RR$.
Ergo...
Che è continua ma non è derivabile in nessun punto.
E' infatti noto che se una funzione è convessa su $RR^n$ è differenziabile due volte quasi ovunque (teorema di Aleksandrov).
Ovviamente quindi questo vale in particolare per un intervallo aperto di $RR$.
Ergo...
quindi se f è continua e concava (e quindi differenziabile due volte q.o.) in tutti i punti in cui è differenziabile la derivata seconda è non positiva. dunque se f la prendo non concava dovrò poter trovare un punto in cui è differenziabile due volte e la derivata seconda è strettamente positiva, quindi trovo l'intorno di stretta convessità, è corretto?
no
Allora mi scuso fin da ora, ma non ho capito come si conclude.
"flavi":
ciao a tutti! secondo voi è vero che una funzione continua non concava è strettamente convessa almeno in un intorno di un punto? intuitivamente, per continuità mi verrebbe da dire di si, ma non riesco a dimostrarlo. grazie mille
Tu vuoi dim che una funzione da R in R continua e non concava è strattamente convessa almeno in un punto.
1.
La funzione di Weierstrass è continua. Ma non è derivabile in nessun punto.
2.
Se fosse convessa o concava (su un intervallo) sarebbe derivabile almeno in un punto.
3.
Quindi non può essere né concava né convessa su nessun intervallo.
4.
Mi pare quindi che sia un esempio di funzione:
- continua
- non concava
- e neppure convessa su nessun intervallo
Meglio che ritocchi la tua "intuizione" sulle funzioni continue. Includendovi al funzione di Weierstrass, per lo meno.
Grazie, mi scuso per l'insistenza.
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