Funzione non $C^\infty$
Da un modello di fisica vengono fuori le seguenti funzioni:
$f(x,t)=log cosh(tx)-1/2 x^2 t$, con $x\in [-1,1], t\in]0,+\infty[$
$p(t)=max{f(x,t) | x\in[-1,1]}$, con $t\in]0,+\infty[$.
Dovrei dimostrare che $p$ non è $C^\infty$.
Onestamente non so se sia possibile farlo per via analitica o se ci debba accontentare di un grafico. Voi cosa ne pensate? Avete qualche idea?
$f(x,t)=log cosh(tx)-1/2 x^2 t$, con $x\in [-1,1], t\in]0,+\infty[$
$p(t)=max{f(x,t) | x\in[-1,1]}$, con $t\in]0,+\infty[$.
Dovrei dimostrare che $p$ non è $C^\infty$.
Onestamente non so se sia possibile farlo per via analitica o se ci debba accontentare di un grafico. Voi cosa ne pensate? Avete qualche idea?
Risposte
Credo che la risposta all'altro post funzioni, per altro qui la discussione si semplifica. La derivata in $x$, a $t>0$ fissato, viene $tanh(tx)*t-xt$ per cui va studiata l'equazione $tanh(tx)=x$, che metterei nella forma $tx=tanh^{-1}x$. Rispetto al caso generale qui hai quota $0$ e $t>0$, per cui è molto semplice graficamente trovare le soluzioni, almeno in via teorica, e vedere dove sta il massimo, per cui riesci a disegnare approssimativamente $\rho$.
Graficamente (osservando le intersezioni di $y=tanh(tx)$ con la retta $y=x$) si vede che:
per $t<=1$, $f$ ha un solo punto di massimo in $x=0$
per $t>1$, $f$ ha due punti di massimo relativo simmetrici rispetto a $x=0$ (che quindi, per la parità di $f$ sono entrambi punti di massimo assoluto).
Ho provato a calcolare alcuni valori di $p$, usando la funzione NMaximize di Mathematica, e graficarli usando ListLogPlot
http://img714.imageshack.us/img714/1884 ... ifase1.pdf
Non so bene come interpretare quello che ho ottenuto. Posso dire che $p$ è discontinua in $t=1$?
Non c'è un modo per esserne certi?
per $t<=1$, $f$ ha un solo punto di massimo in $x=0$
per $t>1$, $f$ ha due punti di massimo relativo simmetrici rispetto a $x=0$ (che quindi, per la parità di $f$ sono entrambi punti di massimo assoluto).
Ho provato a calcolare alcuni valori di $p$, usando la funzione NMaximize di Mathematica, e graficarli usando ListLogPlot
http://img714.imageshack.us/img714/1884 ... ifase1.pdf
Non so bene come interpretare quello che ho ottenuto. Posso dire che $p$ è discontinua in $t=1$?
Non c'è un modo per esserne certi?
Credo che non ti sia di tanto aiuto un tabulato di dati, visto quello che devi provare. Effettivamente la questione mi sembra sottile. La discussione che hai fatto va bene, quindi in particolare la funzione $\rho$ è costantemente $0$ per $t \in (0,1]$ mentre vale
$\rho(t)=logcosh(tx_1(t))-(x_1(t)^2t)/2$
per $t>1$, dove ho denotato con $x_1(t)>0$ il punto di massimo (l'altro sarebbe $-x_1(t)$). La funzione $\rho$ viene continua perchè $x_1 \to 0$ quando $t \to 1$. D'altro canto (ed è qui la parte sottile, ma andrebbe sviluppata meglio) la funzione $x_1=x_1(t)$ dovrebbe essere analitica (poichè ottenuta da funzioni analitiche) per cui anche $\rho$ mi sembra che sia analitica in un intorno destro di $t=1$; da ciò segue l'impossibilità che sia di classe $C^\infty$, poichè se lo fosse sarebbe ricostruibile per serie in un intorno di $1$ dal valore delle derivate in $t=1$, che sono però tutte nulle, mentre $\rho$ non è la funzione nulla.
$\rho(t)=logcosh(tx_1(t))-(x_1(t)^2t)/2$
per $t>1$, dove ho denotato con $x_1(t)>0$ il punto di massimo (l'altro sarebbe $-x_1(t)$). La funzione $\rho$ viene continua perchè $x_1 \to 0$ quando $t \to 1$. D'altro canto (ed è qui la parte sottile, ma andrebbe sviluppata meglio) la funzione $x_1=x_1(t)$ dovrebbe essere analitica (poichè ottenuta da funzioni analitiche) per cui anche $\rho$ mi sembra che sia analitica in un intorno destro di $t=1$; da ciò segue l'impossibilità che sia di classe $C^\infty$, poichè se lo fosse sarebbe ricostruibile per serie in un intorno di $1$ dal valore delle derivate in $t=1$, che sono però tutte nulle, mentre $\rho$ non è la funzione nulla.
Però non potrebbe essere $p$ $C^\infty$, senza essere analitica?
Sì, in teoria sì, però secondo me la funzione $\rho$ è analitica in $(1,1+\delta)$ per un $\delta>0$ abbastanza piccolo: basta che $t\to x_1(t)$ lo sia perchè poi componi con funzioni che sono analitiche.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo