Funzione non appartenente a $L^1(RR)$

[Boris1]

salve, vorrei sapere perchè questa funzione non appartiene a $L^1(RR)$
$f(\omega)=(sen(\omegaT/2))/(\omega/2)$, $T \in RR$
è continua su tutto $RR$ (prolungandola in $0$ per continuità a $T$), inoltre è infinitesima in $+-\infty$, anche se non credo sia possibile stabilire l'ordine.

visto che è un seno, credo che, con termini un pò grossolani, le parti negative tendano ad equiparare quelle positive, dovendo risultare sommabile l'intera aerea sottesa alla curva, anche per $T -> +\infty$
grazie

[dissonance]

"Boris":visto che è un seno, credo che, con termini un pò grossolani, le parti negative tendano ad equiparare quelle positive,

Ma infatti è così: l'integrale [tex]\int _0 ^\infty \frac{ \sin x}{x}\,dx[/tex] converge. Il guaio è che [tex]\int _0 ^\infty |\frac{ \sin x}{x}| \,dx= + \infty[/tex]. Graficamente:
[asvg]xmin=0; xmax=12.56; ymin=-0.2; ymax=1; axes(); plot("(sin (x))/x");[/asvg]Se sommi le aree sotto la curva andando in ordine da sinistra a destra e considerando negative le aree sotto l'asse $x$, ottieni un numero finito.
[asvg]xmin=0; xmax=12.56; ymin=0; ymax=1; axes(); plot("abs(sin (x))/x");[/asvg]Se invece sommi le aree sotto la curva ignorandone il segno, ovvero considerandole tutte positive (e in questo caso l'ordine in cui procedi è ininfluente), ottieni $+ infty$.

Il principio è esattamente lo stesso della serie [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n 1/n[/tex] che converge si, ma non assolutamente.

[Alexp1]

[mod="Alexp"]
@Boris, ti ho corretto un piccolo errore di digitazione che impediva la corretta lettura....ciao
[/mod]

[gugo82]

Per vedere che [tex]\frac{\sin x}{x} \notin L^1(\mathbb{R})[/tex] basta minorare [tex]|\sin x|[/tex] con una funzione a triangolo e minorare [tex]\frac{1}{x}[/tex] con [tex]\frac{1}{2(k+1)\pi}[/tex] su ogni intervallo del tipo [tex][2k\pi ,2(k+1)\pi][/tex] ([tex]k\in \mathbb{N}[/tex]).
Viene fuori che il tuo integrale è minorato da una serie armonica (o quasi) divergente.

[Boris1]

ho capito, quindi il mio errore stava nel considerare la funzione senza modulo. grazie pe rle spiegazioni!