Funzione Multidefinita
Oggi con la prof. abbiamo eseguito degli esercizi come questo:
$f(x)={(log(-x) if x<=1),(x+1 if-1>x>=0),(2 ifx>0):}$
Di cui devo studiarne la continuità. Quando studio i limiti, non mi è chiaro quale limite devo prendere per ogni funzione: quello sinistro, quello destro o entrambi?
$f(x)={(log(-x) if x<=1),(x+1 if-1>x>=0),(2 ifx>0):}$
Di cui devo studiarne la continuità. Quando studio i limiti, non mi è chiaro quale limite devo prendere per ogni funzione: quello sinistro, quello destro o entrambi?
Risposte
Ciao,
immagino ci sia un errore, la parte $log(-x)$ è definita per $x<-1$ non per $x<1$.
Per studiare la continuità in un punto $x_0$ devi studiare il lim destro della funzione definita a destra di $x_0$ e il limite sinistro della funzione definita a sinistra di $x_0$ e vedere se sono uguali. Ad esempio:
$lim_(x->-1^-)log(-x)$ e $lim_(x->-1^+)(x+1)$
Se i due limiti sono uguali la $f(x)$ è continua in $-1$
immagino ci sia un errore, la parte $log(-x)$ è definita per $x<-1$ non per $x<1$.
Per studiare la continuità in un punto $x_0$ devi studiare il lim destro della funzione definita a destra di $x_0$ e il limite sinistro della funzione definita a sinistra di $x_0$ e vedere se sono uguali. Ad esempio:
$lim_(x->-1^-)log(-x)$ e $lim_(x->-1^+)(x+1)$
Se i due limiti sono uguali la $f(x)$ è continua in $-1$
"Ziben":
Ad esempio:
$lim_(x->-1^-)log(-x)$ e $lim_(x->-1^+)(x+1)$
Se i due limiti sono uguali la $f(x)$ è continua in $-1$
ecco, non so il perchè ma della funzione $x+1$, la prof. ha considerato i limiti per x che tende a 0, sia da destra che da sinistra
e cosa ha concluso la tua professoressa per quanto riguarda il limite per $x$ che tende a $0$ da destra per la funzione $x+1$?
Secondo me quel limite non esiste dato che $x+1$ è ristretta all'intevallo $(-1,0]$. Basta pensare alla definizione di limite:
sia $f:A -> R$ con $A sub R$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$; si ha che limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ è $l$ se per ogni intorno $I(l, epsilon)$ esiste un intorno $U(x_0, delta)$ tale che $AA x in U(x_0, delta) nn A - {x_0}$ si ha che $f(x) in I(l, epsilon)$. Nel tuo caso $f(x)=x+1$, $A=(-1,0]$ e valori di $x>0$ non appartengono a $U(0,delta) nn (-1,0] - {0}$ per nessun intorno $U(0,delta)$.
Ha senso considerare solo il limite per $x->0^-$ per la funzione $x+1$. In caso chiedi maggiori spiegazioni alla tua professoressa.
Secondo me quel limite non esiste dato che $x+1$ è ristretta all'intevallo $(-1,0]$. Basta pensare alla definizione di limite:
sia $f:A -> R$ con $A sub R$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$; si ha che limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ è $l$ se per ogni intorno $I(l, epsilon)$ esiste un intorno $U(x_0, delta)$ tale che $AA x in U(x_0, delta) nn A - {x_0}$ si ha che $f(x) in I(l, epsilon)$. Nel tuo caso $f(x)=x+1$, $A=(-1,0]$ e valori di $x>0$ non appartengono a $U(0,delta) nn (-1,0] - {0}$ per nessun intorno $U(0,delta)$.
Ha senso considerare solo il limite per $x->0^-$ per la funzione $x+1$. In caso chiedi maggiori spiegazioni alla tua professoressa.
molto chiaro!! 
ultime due domande:
quando in una funzione ho un solo valore di $x$ non appartiene al domino come in questo caso:
$\{(frac{1+x^3}{x+1}\ if x!=-1),(4 if x=-1):}$
è giusto operare così?:
$\lim_{x \to \-1-}frac{1+x^3}{x+1}= 3$
$\lim_{x \to \-1+}frac{1+x^3}{x+1}=3$
$\lim_{x \to \-1+}4=4$
Se è giusto,in $x=1$ si ha una discontinuità di prima, o di terza specie?
ultime due domande:quando in una funzione ho un solo valore di $x$ non appartiene al domino come in questo caso:
$\{(frac{1+x^3}{x+1}\ if x!=-1),(4 if x=-1):}$
è giusto operare così?:
$\lim_{x \to \-1-}frac{1+x^3}{x+1}= 3$
$\lim_{x \to \-1+}frac{1+x^3}{x+1}=3$
$\lim_{x \to \-1+}4=4$
Se è giusto,in $x=1$ si ha una discontinuità di prima, o di terza specie?
E' giusto tranne che non ha senso calolare il limite per $x->-1$ considerando $f(x)=4$. Il limite della $f(x)$ per $x->-1$ è 3 come hai calcolato con le prime due operazioni di limite; semplicemente la funzione è definita con un valore diverso dal limite per $x=-1$ di conseguenza è una discontinuità di terza specie: "i limiti destro e sinitro esistono finiti e sono ugluali nel punto considerato ma la funzione assume un valore diverso dal limite (o non è definita) in quel punto".
grazie $10^3$ per i tuoi chiarimenti. ora ho capito 
piacere mio. E buon Natale. Ciao
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