Funzione monotona con infinite discontinuità
Un noto teorema di analisi matematica afferma che una funzione monotona definita in un intervallo chiuso e limitato ha al più un'infinità numerabile di punti di discontinuità e questi sono tutti di salto.
Qualcuno può fornirmi un esempio di una funzione monotona con un'infinità numerabile di punti di discontinuità?
Qualcuno può fornirmi un esempio di una funzione monotona con un'infinità numerabile di punti di discontinuità?
Risposte
Non so se può esserti di aiuto ma ad esempio funzioni definite in $NN$ invece che in un intervallo di $RR$ hanno un grafico formato da una serie di punti. Questo è il caso di particolari funzioni che sono le successioni numeriche. E per le successioni si parla anche di monotonia, quindi suppongo che questo potrebbe essere un esempio di ciò che dicevi. (prova a disegnare la successione numerica $a_n= (n-1)^2$ limitandola a un qualsiasi intervallo.
Una costruzione standard è la seguente.
Sia $(x_n)_n\subset (a,b)$ una famiglia numerabile di punti distinti.
Sia $\sum_n c_n$ una serie convergente, con $c_n > 0$ per ogni $n$.
Definiamo la funzione
[tex]f(x) = \sum_{\{n: x_n < x\}} c_n, \qquad x\in [a,b].[/tex]
Allora $f$ è monotona crescente in $[a,b]$, ed è continua in ogni punto [tex]x\not\in \{x_n: n\in\mathbb{N}\}.[/tex]
Sia $(x_n)_n\subset (a,b)$ una famiglia numerabile di punti distinti.
Sia $\sum_n c_n$ una serie convergente, con $c_n > 0$ per ogni $n$.
Definiamo la funzione
[tex]f(x) = \sum_{\{n: x_n < x\}} c_n, \qquad x\in [a,b].[/tex]
Allora $f$ è monotona crescente in $[a,b]$, ed è continua in ogni punto [tex]x\not\in \{x_n: n\in\mathbb{N}\}.[/tex]
@j18eos: No, quella no va bene.
Qui si chiedeva un esempio di funzione monotona con infinite discontinuità e quella proposta da me nel vecchio thread non è monotona. Più attenzione la prossima volta.
@ale.b: Invero, creare funzioni di quel tipo che ti interessa è molto facile.
Prendiamo una successione [tex]$(x_n)\subset ]0,1[$[/tex] che tenda decrescendo strettamente a zero; fissiamo poi un'altra successione [tex]$(y_n)$[/tex] che sia strettamente decrescente e positiva.
A questo punto consideriamo la funzione a scalini [tex]$u(x)$[/tex] definita in [tex]$]0,1[$[/tex] ponendo:
\[
u(x)=\begin{cases} y_1 &\text{, se $x_1\leq x<1$} \\ y_2 &\text{, se $x_2\leq x
tale funzione è certamente monotona crescente ed ha un'infinità numerabile di salti.
Viceversa la funzione a scalini [tex]$v(x)$[/tex] definita in [tex]$]0,1[$[/tex] ponendo:
[tex]$v(x):=u(1-x)$[/tex]
è monotona decrescente ed ha parimenti un'infinità numerabile di salti.
Qui si chiedeva un esempio di funzione monotona con infinite discontinuità e quella proposta da me nel vecchio thread non è monotona. Più attenzione la prossima volta.
@ale.b: Invero, creare funzioni di quel tipo che ti interessa è molto facile.
Prendiamo una successione [tex]$(x_n)\subset ]0,1[$[/tex] che tenda decrescendo strettamente a zero; fissiamo poi un'altra successione [tex]$(y_n)$[/tex] che sia strettamente decrescente e positiva.
A questo punto consideriamo la funzione a scalini [tex]$u(x)$[/tex] definita in [tex]$]0,1[$[/tex] ponendo:
\[
u(x)=\begin{cases} y_1 &\text{, se $x_1\leq x<1$} \\ y_2 &\text{, se $x_2\leq x
tale funzione è certamente monotona crescente ed ha un'infinità numerabile di salti.
Viceversa la funzione a scalini [tex]$v(x)$[/tex] definita in [tex]$]0,1[$[/tex] ponendo:
[tex]$v(x):=u(1-x)$[/tex]
è monotona decrescente ed ha parimenti un'infinità numerabile di salti.
Direi che non serve che la funzione sia definita in un intervallo limitato e chiuso. Direi che basta intervallo.
E che serve l'assioma della scelta.
E che serve l'assioma della scelta.
Chiarissimo! Grazie a tutti!
@Gaal Dornick: la dimostrazione che conosco io di questo fatto richiede che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e limitato...
Poi sicuramente puoi generalizzare come dici te!
@Gaal Dornick: la dimostrazione che conosco io di questo fatto richiede che la funzione sia definita in un intervallo chiuso e limitato...
Poi sicuramente puoi generalizzare come dici te!
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