Funzione misurabile: un criterio.
Data una funzione $f : X -> \mathbb{R}^{n}$ essa è misurabile se la controimmagine di un qualsiasi boreliano appartiene alla sigma algebra del dominio. E questa è la definizione. Ma se ho una funzione, esiste un semplice criterio di misurabilità che mi permette di dire se questa è o meno misurabile, senza dover dimostrare che le controimmagini dei boreliani stanno nella sigma algebra? In altre parole una definizione equivalente di misurabilità, più operativa.
Risposte
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Se $f$ è una funzione da $X$ in $Y$, spazi misurabili, ed
esiste $ mathcal{C}$ tale che $sigma(mathcal{C})$ genera la sigma algebra di $Y$ e $f^{-1} (B)$ è un misurabile di $X$, per ogni $B in mathcal{C}$,
allora $f$ è misurabile.
Ad esemprio se una funzione è a valori in $RR$ dotao della sigma algebra di Borel,
f è misurabile sse $f <=a$ è misurabile.
La dimostrazione di quel teorema si ha dimostrando che
$mathcal{C} sube mathcal{M}={ B sube Y | f^{-1} (B) " è misurabile"}$ è una sigma algebra.
esiste $ mathcal{C}$ tale che $sigma(mathcal{C})$ genera la sigma algebra di $Y$ e $f^{-1} (B)$ è un misurabile di $X$, per ogni $B in mathcal{C}$,
allora $f$ è misurabile.
Ad esemprio se una funzione è a valori in $RR$ dotao della sigma algebra di Borel,
f è misurabile sse $f <=a$ è misurabile.
La dimostrazione di quel teorema si ha dimostrando che
$mathcal{C} sube mathcal{M}={ B sube Y | f^{-1} (B) " è misurabile"}$ è una sigma algebra.
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