Funzione log(x) illimitata

[nik951]

Ciao a tutti, devo mostrare che la funzione $\log_{a}(x)$ è illimitata sia superiormente che inferiormente.
Considerando solo il caso "illimitata superiormente" applico la definizione e cioè $f$ è limitata superiormente (per assurdo) se esiste $k \in \mathbb{R}$ t.c. $f(x) \leq K$ per ogni $x \in A$ dove A è il dominio della $f$.
Applicando questa definizione ho:
$log_{a}(a)\leq K$ da cui la soluzione, con $a>1$ è $0 Da qui, sempre che sia corretto il procedimento come mostro che la $f$ è illimitata superiormente? Dovrei far vedere che non esistono $K$ per cui vale $f(x)\leq K$ e quindi $f$ sarebbe illimtata superiormente, ma non capisco come.
Grazie mille

[ciampax]

Punto primo: qual è il dominio $D$ del logaritmo? Punto secondo: supponendo, come fai, che sia limitata superiormente, e cioè che per ogni $x\in D$ si abbia $\log_a x\le K$, ottieni le condizioni che hai scritto. A questo punto ti chiedo: ti pare che esse restituiscano tutti i punti del dominio?

[nik951]

Il dominio $D$ del logaritmo è $x>0$.
Le condizioni che ottengo supponendo che la funzione sia limitata superiormente $01$, e non restituiscono tutti i punti del dominio della funzione, ma solo un suo intervallo, giusto? Quindi da qui posso concludere che la funzione è illimitata superiormente? Grazie

[ciampax]

Esatto, Stessa cosa per la limitazione inferiore.

[nik951]

Grazie mille per il chiarimento.