Funzione Localmente Lipschitziana
Salve, ho un dubbio su questo esercizio:
Sia $f : A sube R ^^ R^n rarr RR$, con $A$ aperto. Sia $f$ limitata e tale che per
ogni $(t_0, x_0) ∈ A$, esiste un rettangolo del tipo $R = {(t, x) | |t − t_0| ≤ a, |x − x_0| ≤ b }$,
con $a, b > 0$ in cui $f$ e di Lipschitz rispetto a $x$. Dimostrare che allora
$f$ è localmente localmente Lipschitziana rispetto a $x$ in $A$.
Per dimostrarlo inizio dicendo che siccome $A$ è aperto, posso prendere $a, b$ piccoli a piacere tali che $R sub A$. Da qui posso dire che $R$ è compatto.
Vorrei sapere se mi basta questo per concludere dicendo che posso trovare $L_R$ tale che $f$ è localmente Lipschitziana per definizione oppure deve soddisfare qualche altra proprietà?
Grazie in anticipo
Sia $f : A sube R ^^ R^n rarr RR$, con $A$ aperto. Sia $f$ limitata e tale che per
ogni $(t_0, x_0) ∈ A$, esiste un rettangolo del tipo $R = {(t, x) | |t − t_0| ≤ a, |x − x_0| ≤ b }$,
con $a, b > 0$ in cui $f$ e di Lipschitz rispetto a $x$. Dimostrare che allora
$f$ è localmente localmente Lipschitziana rispetto a $x$ in $A$.
Per dimostrarlo inizio dicendo che siccome $A$ è aperto, posso prendere $a, b$ piccoli a piacere tali che $R sub A$. Da qui posso dire che $R$ è compatto.
Vorrei sapere se mi basta questo per concludere dicendo che posso trovare $L_R$ tale che $f$ è localmente Lipschitziana per definizione oppure deve soddisfare qualche altra proprietà?
Grazie in anticipo
Risposte
Una funzione è localmente lipschitziana se per ogni punto $(t_0,x_0)\in A$ esiste un intorno $I$ di tale punto tale che $I\subseteq A$ ed $f$ è di Lipschitz in $I$.
Dato che gli intorni rettangolari sono pur sempre intorni, dato che ne puoi scegliere uno contenuto in $A$ e dato che $f$ è di Lipschitz in ogni rettangolo, hai finito.
Dato che gli intorni rettangolari sono pur sempre intorni, dato che ne puoi scegliere uno contenuto in $A$ e dato che $f$ è di Lipschitz in ogni rettangolo, hai finito.
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