Funzione liscia
Come può una funzione essere differenziabile infinite volte? cioè dico si arriva a un punto in cui magari la sua derivata è una costante, quindi otterremmo come derivata successiva il valore 0. Mi fate un esempio di funzione liscia ? grazie
L'esponenziale potrebbe esserlo?
L'esponenziale potrebbe esserlo?
Risposte
\(1.\) Scrivi la definizione di derivabilità per \(f(x)=0\) al variare di \(x\) in un aperto.
\(2.\) L'esponenziale è di classe \(C^{\infty}\) su \(\mathbb{R}\).
\(3.\) Dal primo punto dovrebbe seguire che tutte le funzioni costanti o polinomiali sono di classe \(C^{\infty}\).
\(2.\) L'esponenziale è di classe \(C^{\infty}\) su \(\mathbb{R}\).
\(3.\) Dal primo punto dovrebbe seguire che tutte le funzioni costanti o polinomiali sono di classe \(C^{\infty}\).
qualcuno mi aiuta per cortesia
Ti hanno già risposto.
Si ma non riesco a capire: allora la definizione è
$lim_(h->0) (0+h-0)/h=1 $ esatto ??
$lim_(h->0) (0+h-0)/h=1 $ esatto ??
Ma ti ricordi qualcosa di Analisi I?
Altrimenti è inutile che stiamo qui a parlarne... Prenditi un libro e rileggitelo.
Altrimenti è inutile che stiamo qui a parlarne... Prenditi un libro e rileggitelo.
definizione di derivata : $lim(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $ questa è la definizione di derivata .. ora la devo usare per la funzione nulla
Diciamo che f è derivabile in un punto $x_0$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale
Diciamo che f è derivabile in un punto $x_0$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale
la derivata di una funzione costante $f(x)=k$ , in base alla definizione è
\begin{align}f '(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{k -k}{h} = \lim_{h\to 0} 0=0\end{align}
se in particolare vuoi la derivata della funione nulla $f(x)=0$ sostituisci $k=0$ sopra
\begin{align}f '(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{k -k}{h} = \lim_{h\to 0} 0=0\end{align}
se in particolare vuoi la derivata della funione nulla $f(x)=0$ sostituisci $k=0$ sopra
ok,ma questo come risponde al mio quesito?
una funzione costante è continua e derivabile infinite volte direi quindi è sicuramente di classe $C^{\infty}$
quindi poiché derivando sempre un polinomio esso si riduce a una funzione costante allora un polinomio é derivabile infinite volte giusto??
si i polinomi (le derivate di ordine maggiore del grado del polinomio sono infatti $0,$ che è una costante e come tale è una funzione continua e derivabile) sono $C^{\infty}$
Anche le funzioni $sin x ; cos x $ sono derivabili infinite volte .
la composizione di funzione liscie è ancora una funzione liscia esatto?? come posso dimostrare che sin e cos sono derivabili infinite volte?
"pasqualinux":
la composizione di funzione liscie è ancora una funzione liscia esatto??
si
"pasqualinux":
come posso dimostrare che sin e cos sono derivabili infinite volte?
di solito si ricorre allo sviluppo di Taylor col resto di Lagrange ...
Puoi anche verificare semplicemente che ad es $ y= sin x $ è derivabile infinite volte:
$y '=cos x$
$y '' = -sinx $
$y ''' = -cos x$
$ y^(iv) = sin x$
e il ciclo si ripete indefinitamente.
$y '=cos x$
$y '' = -sinx $
$y ''' = -cos x$
$ y^(iv) = sin x$
e il ciclo si ripete indefinitamente.
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