Funzione Lipschitziana
Salve a tutti,
volevo chiedervi come si fa a stabilire se una funzione è Lipschitziana.
Sul mio testo di riferimento ho che:
Sia A un aperto di $RR^(n+1)$ e $f:A rarr RR^n$ diciamo che la funzione è Lipschitziana nella variabile y uniformemente rispetto alla variabile x in A se
$EE L >=0 : ||f(x,y_1)-f(x,y_2)||_(RR^n)<=L||y_1-y_2||_(RR^n)$ $AA(x,y_1),(x,y_2) in A$
Ciò che non capisco è come si deve agire praticamente.
Ad esempio, data la funzione
$f(x,y)=x^2(y^2+|y|)$
come mi devo comportare?
volevo chiedervi come si fa a stabilire se una funzione è Lipschitziana.
Sul mio testo di riferimento ho che:
Sia A un aperto di $RR^(n+1)$ e $f:A rarr RR^n$ diciamo che la funzione è Lipschitziana nella variabile y uniformemente rispetto alla variabile x in A se
$EE L >=0 : ||f(x,y_1)-f(x,y_2)||_(RR^n)<=L||y_1-y_2||_(RR^n)$ $AA(x,y_1),(x,y_2) in A$
Ciò che non capisco è come si deve agire praticamente.
Ad esempio, data la funzione
$f(x,y)=x^2(y^2+|y|)$
come mi devo comportare?
Risposte
Un'opzione potrebbe essere valutare se il rapporto incrementale è limitato...
Ma come posso fare?
In genere una funzione lipshitziana è una funzione che è "lineare" o "al massimo lineare".
per capire cosa intendo: dire che (fissato $x_0$) $|f(x_0)-f(x)|\leq C |x-x_0|$ cosa significa? Prova a fare un disegnino di quali sono le zone dove la funzione può stare (la funzione $f(x)-f(x_0)$ ($f(x_0)$ è una costante) può muoversi solo tra $C(x-x_0)$ e $-C(x-x_0)$, insomma in questa "farfalla").
Tutto questo per dirti che: una funzione che ha un comportamento quadratico (come la tua) non sarà poi lipshitziana su tutto il dominio (questo va dimostrato rigorosamente, ma è una buona regola "ad occhio").
Una condizione necessaria e sufficiente alla lipshitzianità, nell'ipotesi di $f$ derivabile, è che le derivate parziali siano limitate. Potresti usare questo come metodo.
Un corollario. Se hai una funzione $f \in C^1$, allora le derivate sono continue. Se il tuo dominio è un compatto, allora sono limitate (teorema di Weierstrass). Quindi una funzione $C^1$ è "localmente lipshitziana". (Localmente significa: se restringo il dominio ad un compatto).
per capire cosa intendo: dire che (fissato $x_0$) $|f(x_0)-f(x)|\leq C |x-x_0|$ cosa significa? Prova a fare un disegnino di quali sono le zone dove la funzione può stare (la funzione $f(x)-f(x_0)$ ($f(x_0)$ è una costante) può muoversi solo tra $C(x-x_0)$ e $-C(x-x_0)$, insomma in questa "farfalla").
Tutto questo per dirti che: una funzione che ha un comportamento quadratico (come la tua) non sarà poi lipshitziana su tutto il dominio (questo va dimostrato rigorosamente, ma è una buona regola "ad occhio").
Una condizione necessaria e sufficiente alla lipshitzianità, nell'ipotesi di $f$ derivabile, è che le derivate parziali siano limitate. Potresti usare questo come metodo.
Un corollario. Se hai una funzione $f \in C^1$, allora le derivate sono continue. Se il tuo dominio è un compatto, allora sono limitate (teorema di Weierstrass). Quindi una funzione $C^1$ è "localmente lipshitziana". (Localmente significa: se restringo il dominio ad un compatto).
Perfetto. Grazie. 
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