Funzione lipschitziana
Buongiorno a tutti.
Sono un po' arrugginito; c'è modo di verificare se la funzione:
$f(t,y)=e^{t-y}$
è lipschitziana in $y$ senza studiare la continuità delle derivate parziali (che in tal caso è immediato)?
Grazie.
Max
Sono un po' arrugginito; c'è modo di verificare se la funzione:
$f(t,y)=e^{t-y}$
è lipschitziana in $y$ senza studiare la continuità delle derivate parziali (che in tal caso è immediato)?
Grazie.
Max
Risposte
Puoi usare qualche relazione tra vari gradi di regolarità e la lipschitzianità, oppure usare direttamente la definizione.
In tutti i casi, devi fornire un intervallo per \(y\) in cui verificare questa proprietà.
In tutti i casi, devi fornire un intervallo per \(y\) in cui verificare questa proprietà.
Ciao,
sì hai ragione, ho omesso l'insieme che mi interessa che nella fattispecie è
\[
D=\{(t,y)| \quad 0 \leq t \leq 1, \quad -\infty < y < +\infty \}
\]
Avevo provato ad usare il teorema del valor medio ma senza successo.
sì hai ragione, ho omesso l'insieme che mi interessa che nella fattispecie è
\[
D=\{(t,y)| \quad 0 \leq t \leq 1, \quad -\infty < y < +\infty \}
\]
Avevo provato ad usare il teorema del valor medio ma senza successo.
Visto il dominio di \(y\), dovrebbe essere facile dire che la funzione non è Lipschitz.
Su domini che sono aperti convessi, essendo che $\partial_y f$ è una funzione continua, la lipschitzianità rispetto ad $y$ dovrebbe essere equivalente alla limitatezza di $\partial_y f$. Correggetemi se sbaglio...
Non è sufficiente la continuità delle derivate parziali prime a garantire la lipschitzianità?
"maxsiviero":
Non è sufficiente la continuità delle derivate parziali prime a garantire la lipschitzianità?
Su un aperto connesso, la continuità di tutte le derivate parziali prime garantisce la lipschitzianità locale (si fa sostanzialmente col teorema del valor medio). Quella funzione è certamente localmente lipschitziana, ma non globalmente lipschitziana: se fissi uno dei punti su cui testare la condizione di Lipschitz, salterebbe fuori che l'esponenziale è definitivamente (a \(-\infty\)) maggiorato da una retta...
"Seneca":
Su domini che sono aperti convessi, essendo che $\partial_y f$ è una funzione continua, la lipschitzianità rispetto ad $y$ dovrebbe essere equivalente alla limitatezza di $\partial_y f$. Correggetemi se sbaglio...
Beh mi sembra di sì. Una direzione si vede col teorema del valor medio, l'altra io l'ho vista inglobata al teorema di Rademacher (se \(f \in \text{Lip}(\mathbb{R}^n)\) allora, oltre alle altre cose, \(\text{Lip}(f) = \| \nabla f \|_{L^\infty (\mathbb{R}^n)}\)).
Dovrebbe essere semplice da vedere.
Sia $f$ lipschitziana e $h > 0$. Si ha
\[ | f(t , y + h ) - f(t, y) | = \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) h + o(h) \right| = h \cdot \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right | \]
e sfruttando l'ipotesi
\[ h \left| \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right| \le L h \]
da cui
\[ \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right| \le L \;.\]
Passando al limite per $h \to 0$ si ottiene che $\partial_y f$ è limitata.
Vi torna?
Sia $f$ lipschitziana e $h > 0$. Si ha
\[ | f(t , y + h ) - f(t, y) | = \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) h + o(h) \right| = h \cdot \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right | \]
e sfruttando l'ipotesi
\[ h \left| \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right| \le L h \]
da cui
\[ \left | \frac{\partial f}{\partial y} (t, y) + o(1) \right| \le L \;.\]
Passando al limite per $h \to 0$ si ottiene che $\partial_y f$ è limitata.
Vi torna?
A me torna perfettamente. Il senso del mio post iniziale era quello di capire se esiste una strategia più o meno standard per verificare la lipschitzianità di una funzione sfruttando la definizione. Poi nella maggior parte delle situazioni che sto vedendo, l'insieme è convesso ed è quindi sufficiente (e spesso più semplice) verificare la limitatezza di $\partial_{y} f$ oppure la continuità di tutte le derivate parziali.
Ti chiedo scusa, abbiamo deragliato un po' dall'argomento.
No, anzi, grazie a tutti per gli interventi.
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