Funzione lineare a tratti

[picchi]

Salve a tutti!!
Potreste fornirmi una definizione della "funzione lineare a tratti"?
Grazie.

[21zuclo]

vuoi dire per esempio questa?

qui però in questo esempio bisogna trovare per quali valori del parametro $\alpha, \beta \in\mathbb{R}$ la funzione è continua

$f(x)={(\alpha; x\leq 0),((2\ln(1+root(5)(x))-\sin(root(5)(x)))/(x^\beta); x\geq 0):}$

questo dici?..Altrimenti spiegati meglio

[gugo82]

"21zuclo":vuoi dire per esempio questa?

Ma anche no.

Piuttosto, questa:

Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è detta lineare a tratti in \(X\) se e solo se esistono un numero finito di intervalli \(I_1,\cdots ,I_N\) tali che:

1. \(X=\bigcup_{n=1}^N I_n\);

2. \(f\) è lineare in ogni intervallo \(I_n\), i.e. per ogni \(n\in \{1,\ldots ,N\}\) esistono (e sono unici) due numeri \(\alpha_n,\ \beta_n\in \mathbb{R}\) tali che:
\[
\forall x\in I_n,\quad f(x)=\alpha_n\ x+\beta_n\; .
\]

Quindi una funzione lineare a tratti è una funzione del tipo:
\[
f(x):=\begin{cases} \alpha_1\ x+\beta_1 &\text{, se } x\in I_1\\ \alpha_2\ x+\beta_2 &\text{, se } x\in I_2 \\ \vdots \\ \alpha_N\ x+\beta_N &\text{, se } x\in I_N\end{cases}
\]
ed il tipico esempio è evidentemente \(f(x):=|x|\).