Funzione limite puntuale

[process11]

sia $f_j:X->R$ una successione di funzioni misurabili. allora sono misurabili anche
$\lim_{j \to \infty}$sup$f_j$ e $\lim_{j \to \infty}$inf$f_j$.
inoltre se per ogni $x in X$ esiste $ \lim_{j \to \infty}$ della successione di numeri $f_j(x)$ e se definiamo la funzione $f:x-> \lim_{j \to \infty}$$f_j(x)$ allora la funzione f è misurabile.
volevo chiedere..una volta dimostrata la prima parte , la seconda deriva dalla prima o si dimostra a se???

[Rigel1]

Segue ovviamente dalla prima parte.
Se esiste il limite puntuale $\lim_n f_n(x)$, allora \(\liminf_n f_n(x) \) e \(\limsup_n f_n(x)\) coincidono con esso.

[Paolo902]

Se esiste il limite (puntuale) allora esso coincide necessariamente con il limite superiore e con quello inferiore, dunque la tesi è gratis dalla prima parte.

EDIT: Scusa Rigel per la sovrapposizione.