Funzione limitata/illimitata a 2 variabili

[Raulzx]

Non riesco a capire bene come fare per vedere se una funzione a 2 varibili è limitata o illimitata.
Ieri andai a parlare col prof. e gli dissi se bastasse fare il limite di y che tende a $+- oo
Lui mi ha detto che non posso fare semplicemente così, perchè è una funzione a 2 variabili e che devo ridurla a una retta. Mi potete spiegare meglio che intendeva? Ha detto qualcosa tipo far riferimento agli assi...mi potete fare qualke esempio? Thanks!

[miuemia]

dipende dai casi comunque un modo può essere di far tendere sia x che y a più infinito e vedere un pò che succede: ad esempio $f(x,y)=x^2+y^2$
questa ovviamente non è limitata infatti sui punti di $RR^2$ abbastanza grandi in modulo diverge.
ma sei hai esempi concreti postali.
ciao e a presto

[Raulzx]

incontro casi del genere in particolare nel calcolo di problemi di cauchy non lineari, che per vedere se esiste una soluzione globale devo vedere se la derivata perziale rispetto a y della funzione è limitata. Esempio:
${(y'=sqrt(ty) cosy), (y(1)=1):}
quindi:
$f_y=-(t cosy)/(2sqrt(ty)) + sqrt(ty)seny
ora per vedere se è limitata?

Oppure un esercizio sui max e min che chiede anche:
$f(x,y)=(2y-1)(2y^2-y+2x)
stabilire se è limitata inferiormente e se è illimitata superiormente

[miuemia]

per la prima: vedi se è continua in $y$, il problema te lo dà il rapporto $cosy/(y)^(1/2)$

per la seconda:
studi i punti critici e risulta che il gradiente si annulla in un punto e che questo punto è di sella. quindi non hai punti di massimo nè di minimo quindi non può essere limitata inferiormente e se fai il limite per $(x,y)->+oo$ risulta che $f(x,y)=+oo$