Funzione limitata, o no?

[delca85]

Se una funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato e ammette limite finito in ogni suo punto interno, si può dire allora che è limitata?
Per me sì, è comunque definita agli estremi dell'intervallo, quidi direi che non ci sono problemi.
Giusto?

[Studente Anonimo]

Per "punto interno" intendi nel senso topologico, cioè un punto di cui l'intervallo sia intorno? (cioè, un punto che non sia un estremo)? In questo caso la risposta è no: pensa per esempio alla funzione $f:[0,1] to RR$ definita da $f(0)=0$, $f(x)=1/x$ per ogni $0
Forse se chiedi che il limite esista finito in ogni punto dell'intervallo ci sono speranze che sia vero...

[delca85]

Per punto interno intendevo punto per il quale esiste un intorno completamente contenuto nel dominio della funzione. E comunque hai ragione tu, una funzione definita a questa maniera non è assolutamente limitata, non so come abbia fatto a non pensarci.
Ciao, grazie e scusa la stupidità!

[fu^2]

se f è definita su [a,b] allora se il limite esiste finito in ogni suo punto interno e inoltre esistono finiti i limiti per $x->a^+$ e a $b^-$ allora si, è limitata penso. SE manca l'ultima ipotesi, vedi martino

[Fioravante Patrone1]

"Martino":
Forse se chiedi che il limite esista finito in ogni punto dell'intervallo ci sono speranze che sia vero...

Congettura ragionevole...

Vediamo di provarla.
Se f non è limitata (ad esempio superiormente), allora c'è successione $x_n$ t.c. $f(x_n)$ va a $+oo$.
Per la compattezza, estrai da $x_n$ una sottosuccessione convergente a un qualche $\bar x $. Ovviamente la f continua ad andare a $+oo$ sulla sottosuccessione, E questo è evidentemente in contrasto col fatto che il lim di f(x) sia finito in ogni punto e quindi anche in $\bar x$.