Funzione limitata di successione convergente
Ciao a tutti,
per un esercizio vorrei utilizzare un risultato, ma non so se sia corretto.
Assumiamo l'esistenza di una successione di funzioni $f_n$, e di una funzione $f$, con $f_n,f : X \rightarrow Y$, e che valga $\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x) AA x in X $.
Definisco una funzione $g : Y \rightarrow Z$ limitata.
Ne segue che anche la successione $(g(f_n(x)))_{n in NN}$ è limitata
$\Rightarrow$ la sottosuccessione $(g(f_{n_m}(x)))_{m in NN}$ è anch'essa limitata
Secondo il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste almeno una sottosuccessione della sottosuccessione di cui sopra $(g(f_{n_{m_k}}(x)))_{k in NN}$ ed una $g(\hat{f}_m(x))$ tale che $\lim_{k \to \infty}g(f_{n_{m_k}}(x))=g(\hat{f}_m(x))$ per ogni $x in X$.
La mia domanda è: vale $\hat{f}_m(x)=f(x)$ e quindi $g(\hat{f}_m(x))=g(f(x)) AA m in NN$, ossia le sottosuccessioni delle sottosuccessioni convergono tutte allo stesso limite?
La cosa mi risulta strana, poiché in tal caso, da un noto teorema dell'analisi, avendo in tal caso che ogni sottosuccessione possiede a sua volta una sottosuccessione che converge ad un limite (fisso), anche la successione principale converge a questo limite: ossia ne seguirebbe che $\lim_{n \to \infty}g(f_n(x))=g(f(x)) AA x in X$.
Poiché da un paio di ore non riesco a capire se si possa utilizzare questo risultato, e non sono riuscito a trovare una dimostrazione né della sua veridicità, né della sua fallacia, chiedo umilmente aiuto al forum, nel caso qualcuno avesse un'idea a riguardo
per un esercizio vorrei utilizzare un risultato, ma non so se sia corretto.
Assumiamo l'esistenza di una successione di funzioni $f_n$, e di una funzione $f$, con $f_n,f : X \rightarrow Y$, e che valga $\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x) AA x in X $.
Definisco una funzione $g : Y \rightarrow Z$ limitata.
Ne segue che anche la successione $(g(f_n(x)))_{n in NN}$ è limitata
$\Rightarrow$ la sottosuccessione $(g(f_{n_m}(x)))_{m in NN}$ è anch'essa limitata
Secondo il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste almeno una sottosuccessione della sottosuccessione di cui sopra $(g(f_{n_{m_k}}(x)))_{k in NN}$ ed una $g(\hat{f}_m(x))$ tale che $\lim_{k \to \infty}g(f_{n_{m_k}}(x))=g(\hat{f}_m(x))$ per ogni $x in X$.
La mia domanda è: vale $\hat{f}_m(x)=f(x)$ e quindi $g(\hat{f}_m(x))=g(f(x)) AA m in NN$, ossia le sottosuccessioni delle sottosuccessioni convergono tutte allo stesso limite?
La cosa mi risulta strana, poiché in tal caso, da un noto teorema dell'analisi, avendo in tal caso che ogni sottosuccessione possiede a sua volta una sottosuccessione che converge ad un limite (fisso), anche la successione principale converge a questo limite: ossia ne seguirebbe che $\lim_{n \to \infty}g(f_n(x))=g(f(x)) AA x in X$.
Poiché da un paio di ore non riesco a capire se si possa utilizzare questo risultato, e non sono riuscito a trovare una dimostrazione né della sua veridicità, né della sua fallacia, chiedo umilmente aiuto al forum, nel caso qualcuno avesse un'idea a riguardo
Risposte
"Guerino":Non sono d'accordo. Bolzano-Weierstrass ti dice solo che esiste una sottosuccessione convergente. Come fai a sapere che il limite di tale sottosuccessione appartiene all'immagine di $g$?
Secondo il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste almeno una sottosuccessione della sottosuccessione di cui sopra $(g(f_{n_{m_k}}(x)))_{k in NN}$ ed una $g(\hat{f}_m(x))$ tale che $\lim_{k \to \infty}g(f_{n_{m_k}}(x))=g(\hat{f}_m(x))$ per ogni $x in X$.
"Martino":Non sono d'accordo. Bolzano-Weierstrass ti dice solo che esiste una sottosuccessione convergente. Come fai a sapere che il limite di tale sottosuccessione converge a un punto che appartiene all'immagine di $g$?[/quote]
[quote="Guerino"]Secondo il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste almeno una sottosuccessione della sottosuccessione di cui sopra $(g(f_{n_{m_k}}(x)))_{k in NN}$ ed una $g(\hat{f}_m(x))$ tale che $\lim_{k \to \infty}g(f_{n_{m_k}}(x))=g(\hat{f}_m(x))$ per ogni $x in X$.
Hai perfettamente ragione. Questo mette una pietra definitiva sopra al mio tentativo
Se non sbaglio, non vedo come io ne possa uscire senza avere l'ipotesi aggiuntiva che g sia continua nel punto f (ipotesi che non ho, e che renderebbe l'asserzione triviale e tutto il discorso con le sottosuccessioni superfluo).
Provando anche a ragionare per astratto, ciò di cui avrei bisogno è una sorta di proprietà di chiusura dell'insieme immagine e di unicità del limite.
E con queste due proprietà, dando un'occhiata al volo ai miei appunti di analisi funzionale, ho in pratica caratterizzato la continuità per successione
Credo che io debba cercare altre strade.
Sei d'accordo?
Scusa, ma non mi pare che tu abbia detto cosa esattamente vuoi dimostrare.
"Martino":
Scusa, ma non mi pare che tu abbia detto cosa esattamente vuoi dimostrare.
Che $\hat f_m(x) = f(x) $, ossia che $g(\hat f_m(x))=g(f(x)) AA m in NN$
Scusa, ma quello che hai scritto non significa niente.
Vuoi dimostrare che esiste una sottosuccessione convergente a un punto che appartiene all'immagine di $g$?
Forse è meglio se riporti il testo dell'esercizio.
Vuoi dimostrare che esiste una sottosuccessione convergente a un punto che appartiene all'immagine di $g$?
Forse è meglio se riporti il testo dell'esercizio.
Aggiungo che non hai nessuna speranza, qualsiasi cosa tu voglia fare. Prendi la funzione \(g(x)=0\), per esempio. O qualsiasi altra costante. È chiaro che puoi fare quello che ti pare con \(g(f_n)\), che tanto è la successione identicamente nulla, non hai speranza di ottenere informazioni su \(f_n\).
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