Funzione limitata
Ciao a tutti ragazzi, voi come risolvereste questo problema?
Studiare le proprietà topologiche del campo di esistenza di f, e dire se essa è limitata nel suo dominio.
$f(x)=(sin(lnx))/(e^x-e)$
Dopo aver determinato il suo dominio che risulta essere $(0,1)\cup(1,+infty)$ posso dire che esso è un insieme aperto, in quanto unione d' insiemi aperti. Posso dire che i punti $x=0andx=1$ sono punti di accumulazione per lo stesso. Inoltre il punto $x=0$ è un punto di frontiera, infine risulta che ogni punto del dominio è un suo punto interno.
Per quanto riguarda il secondo quesito posso dire che il limite di $x$ che tende a $1$ da destra fa $1/e$, mentre il limite che tende ad infinito fa zero. Poiché $f(x)<=(lnx)/(e^x-e)$ per ogni $x$ maggiore di uno allora la nostra funzione è limita nel secondo intervallo del dominio ed ha per estremo superiore $1/e$.
Ma come mi comporto per il primo intervallo? E cioè per $x in(0,1)$ ?
Studiare le proprietà topologiche del campo di esistenza di f, e dire se essa è limitata nel suo dominio.
$f(x)=(sin(lnx))/(e^x-e)$
Dopo aver determinato il suo dominio che risulta essere $(0,1)\cup(1,+infty)$ posso dire che esso è un insieme aperto, in quanto unione d' insiemi aperti. Posso dire che i punti $x=0andx=1$ sono punti di accumulazione per lo stesso. Inoltre il punto $x=0$ è un punto di frontiera, infine risulta che ogni punto del dominio è un suo punto interno.
Per quanto riguarda il secondo quesito posso dire che il limite di $x$ che tende a $1$ da destra fa $1/e$, mentre il limite che tende ad infinito fa zero. Poiché $f(x)<=(lnx)/(e^x-e)$ per ogni $x$ maggiore di uno allora la nostra funzione è limita nel secondo intervallo del dominio ed ha per estremo superiore $1/e$.
Ma come mi comporto per il primo intervallo? E cioè per $x in(0,1)$ ?
Risposte
"Navarone89":
Ciao a tutti ragazzi, voi come risolvereste questo problema?
Studiare le proprietà topologiche del campo di esistenza di f, e dire se essa è limitata nel suo dominio.
$f(x)=(sin(lnx))/(e^x-e)$
Per quanto riguarda il secondo quesito posso dire che il limite di $x$ che tende a $1$ da destra fa $1/e$, mentre il limite che tende ad infinito fa zero. Poiché $f(x)<=(lnx)/(e^x-e)$ per ogni $x$ maggiore di uno allora la nostra funzione è limita nel secondo intervallo del dominio ed ha per estremo superiore $1/e$.
Ma come mi comporto per il primo intervallo? E cioè per $x in(0,1)$ ?
Puoi fare la stessa cosa vedendo se il $lim_(x->0^+) (sin(lnx))/(e^x-e)$ ed il $lim_(x->1^-) (sin(lnx))/(e^x-e)$...e se entrambi i limiti esistono finiti allora la funzione dovrebbe essere limitata...
Rispondo solo alla prima parte.
Ci sono alcune cose vere ma incomplete, in particolare...
La frontiera non è solo \(x = 0\).
I punti di accumulazione [esterni] non sono solo \(x = 0\) e \(x = 1\).
La terza affermazione è ridondante, perché hai già detto che l'insieme è aperto.
Ci sono alcune cose vere ma incomplete, in particolare...
La frontiera non è solo \(x = 0\).
I punti di accumulazione [esterni] non sono solo \(x = 0\) e \(x = 1\).
La terza affermazione è ridondante, perché hai già detto che l'insieme è aperto.
"Obidream":
[quote="Navarone89"]Ciao a tutti ragazzi, voi come risolvereste questo problema?
Studiare le proprietà topologiche del campo di esistenza di f, e dire se essa è limitata nel suo dominio.
$f(x)=(sin(lnx))/(e^x-e)$
Per quanto riguarda il secondo quesito posso dire che il limite di $x$ che tende a $1$ da destra fa $1/e$, mentre il limite che tende ad infinito fa zero. Poiché $f(x)<=(lnx)/(e^x-e)$ per ogni $x$ maggiore di uno allora la nostra funzione è limita nel secondo intervallo del dominio ed ha per estremo superiore $1/e$.
Ma come mi comporto per il primo intervallo? E cioè per $x in(0,1)$ ?
Puoi fare la stessa cosa vedendo se il $lim_(x->0^+) (sin(lnx))/(e^x-e)$ ed il $lim_(x->1^-) (sin(lnx))/(e^x-e)$...e se entrambi i limiti esistono finiti allora la funzione dovrebbe essere limitata...[/quote]
Da ciò che mi hai detto, nel primo intervallo la funzione non è limitata perché il limite di x che tende a zero da destra è indeterminato. Tuttavia esso sarà compreso tra $-1/(1-e)$ ed $1/(1-e)$ mentre il limite di x che tende ad uno fa sempre $1/e$.
Però potrebbero esistere dei punti compresi tra 0 ed 1 in cui la funzione "supera" il valore $+-1/e$ o no?
"Raptorista":
Rispondo solo alla prima parte.
Ci sono alcune cose vere ma incomplete, in particolare...
La frontiera non è solo \(x = 0\).
I punti di accumulazione [esterni] non sono solo \(x = 0\) e \(x = 1\).
La terza affermazione è ridondante, perché hai già detto che l'insieme è aperto.
Non so proprio dove tu voglia farmi arrivare =/.
Sparo, un altro punto di accumulazione esterno è $+infty$ che appartiene all' estensione continua della retta reale?
Non so quale potrebbe essere un altro punto di frontiera..
Non devi sparare! Devi leggere le definizioni 
"Navarone89":
[quote="Obidream"][quote="Navarone89"]Ciao a tutti ragazzi, voi come risolvereste questo problema?
Studiare le proprietà topologiche del campo di esistenza di f, e dire se essa è limitata nel suo dominio.
$f(x)=(sin(lnx))/(e^x-e)$
Per quanto riguarda il secondo quesito posso dire che il limite di $x$ che tende a $1$ da destra fa $1/e$, mentre il limite che tende ad infinito fa zero. Poiché $f(x)<=(lnx)/(e^x-e)$ per ogni $x$ maggiore di uno allora la nostra funzione è limita nel secondo intervallo del dominio ed ha per estremo superiore $1/e$.
Ma come mi comporto per il primo intervallo? E cioè per $x in(0,1)$ ?
Puoi fare la stessa cosa vedendo se il $lim_(x->0^+) (sin(lnx))/(e^x-e)$ ed il $lim_(x->1^-) (sin(lnx))/(e^x-e)$...e se entrambi i limiti esistono finiti allora la funzione dovrebbe essere limitata...[/quote]
Da ciò che mi hai detto, nel primo intervallo la funzione non è limitata perché il limite di x che tende a zero da destra è indeterminato. Tuttavia esso sarà compreso tra $-1/(1-e)$ ed $1/(1-e)$ mentre il limite di x che tende ad uno fa sempre $1/e$.
Però potrebbero esistere dei punti compresi tra 0 ed 1 in cui la funzione "supera" il valore $+-1/e$ o no?[/quote]
In effetti hai ragione, potrebbe esistere... Però ti chiede di dire solo se è limitata o meno quindi l'importante è che non esista un $x_0 in dom(f) t.c lim_(x->x_0) f(x)=+-oo$... se questo $x_0$ esiste allora la funzione non può essere limitata...
A quanto pare l'unico problema si ha quando il limite non esiste.. però la tua idea mi sembra corretta, perché essendo comunque compreso tra 2 valori finiti, la funzione rimane limitata...
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