Funzione Lebesgue integrabile ma non essenzialmente Riemann integrabile
Salve a tutti, sto studiando la costruzione di una funzione che è integrabile secondo Lebesgue ma non essenzialmente Riemann integrabile.
Considero i razionali in $[0,1]$ in successione ${q_k}$.
Considero l'insieme aperto $A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ che è misurabile secondo Lebesgue e la cui misura per la numerabile subadditività è $lambda(A)<=1/2$
Ora, perchè in $[0,1]$ la funzione $chi_(A_n)$ caratteristica dell'insieme
$A_n=uuu_(k=1)^n ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ è Riemann integrabile?
Invece la funzione $chi_A$ caratteristica dell'insieme
$A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ non è Riemann integrabile?
Posso dire che $chi_A$ non è Riemann integrabile perchè di seguito mostro che non è essenzialmente Riemann integrabile?
Dopo di che credo di aver capito e vi scrivo il seguito:
Una qualsiasi altra funzione $g$ equivalente alla funzione caratteristica dell'insieme $A$ non è Riemann integrabile in $[0,1]$. Infatti comunque presa una partizione dell'intervallo [0,1] in sotto intervalli $[x_(i-1),x_i]$, supponendo per assurdo che $g$ sia Riemann integrabile allora sarà anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.
Allora data la densità dei razionali si ha sup${g(x) | x in [x_(i-1),x_i]}>=1$
e $\int_0^1g(x)dx >=1$
Inoltre la funzione caratteristica di $A$ è il limite della successione delle funzioni caratteristiche degli $A_n$. Ciascuna di esse è maggiorata in modulo dalla funzione costantemente uguali ad $1$ che è integrabile. Allora posso applicare il teorema di convergenza dominata e dire che
$1<= int_0^1gdlambda =lim_(k->prop) int_0^1 chi_(A_k) dlambda <=1/2$ il che è assurdo.
Spero di essere stata chiara e grazie in anticipo
Considero i razionali in $[0,1]$ in successione ${q_k}$.
Considero l'insieme aperto $A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ che è misurabile secondo Lebesgue e la cui misura per la numerabile subadditività è $lambda(A)<=1/2$
Ora, perchè in $[0,1]$ la funzione $chi_(A_n)$ caratteristica dell'insieme
$A_n=uuu_(k=1)^n ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ è Riemann integrabile?
Invece la funzione $chi_A$ caratteristica dell'insieme
$A=uuu_(k=1)^prop ]q_k-1/2^(k+2),q_k+1/2^(k+2)[$ non è Riemann integrabile?
Posso dire che $chi_A$ non è Riemann integrabile perchè di seguito mostro che non è essenzialmente Riemann integrabile?
Dopo di che credo di aver capito e vi scrivo il seguito:
Una qualsiasi altra funzione $g$ equivalente alla funzione caratteristica dell'insieme $A$ non è Riemann integrabile in $[0,1]$. Infatti comunque presa una partizione dell'intervallo [0,1] in sotto intervalli $[x_(i-1),x_i]$, supponendo per assurdo che $g$ sia Riemann integrabile allora sarà anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.
Allora data la densità dei razionali si ha sup${g(x) | x in [x_(i-1),x_i]}>=1$
e $\int_0^1g(x)dx >=1$
Inoltre la funzione caratteristica di $A$ è il limite della successione delle funzioni caratteristiche degli $A_n$. Ciascuna di esse è maggiorata in modulo dalla funzione costantemente uguali ad $1$ che è integrabile. Allora posso applicare il teorema di convergenza dominata e dire che
$1<= int_0^1gdlambda =lim_(k->prop) int_0^1 chi_(A_k) dlambda <=1/2$ il che è assurdo.
Spero di essere stata chiara e grazie in anticipo
Risposte
Che vuol dire "essenzialmente" Riemann integrabile? (N.B.: Si scrive Lebesgue http://it.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue )
Ho corretto
Una funzione è essenzialmente Riemann integrabile se esiste una funzione ad essa equivalente che è Riemann integrabile?
Una funzione è essenzialmente Riemann integrabile se esiste una funzione ad essa equivalente che è Riemann integrabile?
"teresamat":
Ho corretto
Una funzione è essenzialmente Riemann integrabile se esiste una funzione ad essa equivalente che è Riemann integrabile?
Ah ok, immagino che "equivalente" significhi "a meno di insiemi di misura nulla". Mi pare comunque che tu abbia capito la sostanza di questa dimostrazione, cosa ti turba esattamente?
I miei dubbi sono due.
1) Perché $chi_(A_n)$ è Riemann integrabile?
2) Mostrando che nessuna funzione $g$ equivalente a $chi_A$ è Riemann integrabile mostro che $chi_A$ non è essenzialmente Riemann integrabile. Questo implica in particolare che $chi_A$ non è Riemann integrabile? Se lo fosse avrei trovato una funzione equivalente a $chi_A$ (cioè se stessa) che è Riemann integrabile, il che è assurdo. Va bene?
1) Perché $chi_(A_n)$ è Riemann integrabile?
2) Mostrando che nessuna funzione $g$ equivalente a $chi_A$ è Riemann integrabile mostro che $chi_A$ non è essenzialmente Riemann integrabile. Questo implica in particolare che $chi_A$ non è Riemann integrabile? Se lo fosse avrei trovato una funzione equivalente a $chi_A$ (cioè se stessa) che è Riemann integrabile, il che è assurdo. Va bene?
1) è facile. Se $[a, b]$ è un intervallo, la funzione $\chi_{[a, b]}$ è Riemann integrabile. E quindi anche $\chi_{A_n}$, che è ottenuta sommando e sottraendo un numero finito di funzioni di quel tipo, è Riemann integrabile.
2) E' ovvio che se una roba non è "essenzialmente" Riemann integrabile allora non è neanche Riemann integrabile.
2) E' ovvio che se una roba non è "essenzialmente" Riemann integrabile allora non è neanche Riemann integrabile.
Ma per il teorema di Riemann-Lebesgue non dovrebbe essere (usando la terminologia di teresamat) Riemann-integrabile \(\iff\) essenzialmente Riemann-integrabile? Cosa mi sfugge?
"Epimenide93":
Ma per il teorema di Riemann-Lebesgue non dovrebbe essere (usando la terminologia di teresamat) Riemann-integrabile \(\iff\) essenzialmente Riemann-integrabile? Cosa mi sfugge?
No perché $\chi_\mathbb{Q}$ è uguale quasi ovunque alla funzione identicamente nulla.
(Comunque sono dettagli non tanto importanti IMHO)
"dissonance":
No perché $\chi_\mathbb{Q}$ è uguale quasi ovunque alla funzione identicamente nulla.
Ah, certo. Ho capito anche cosa mi aveva tratto in inganno, grazie.
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