Funzione invertibile e derivata dell'inversa
l'esercizio è questo:
Dire se la seguente funzione è invertibile in un intorno di $x0$ e in caso affermativo, se esiste, determinare la derivata della funzione inversa in $y0$
$f(x)=e^x^2+2senx$ $x0=0 y0=1$
Io mi sono calcolata la derivata prima di $f(x)$ e poi la derivata nel punto $x0$ siccome la derivata nel punto è = a 2 e quindi sempre diversa da 0 ho concluso ke è sicuramente invertibile nell'intorno $x0$ in quanto monotona.
e la derivata dell'inversa è venuta$ 1/(2xe^x^2+2cosx)$.
Va bene?
Poi ho sostituito $y0$ alle x dell'inversa.
è giusto??
p.s. e è elevato alla $x^2$ e non alla $2x$ ma nn so come scriverlo!
Dire se la seguente funzione è invertibile in un intorno di $x0$ e in caso affermativo, se esiste, determinare la derivata della funzione inversa in $y0$
$f(x)=e^x^2+2senx$ $x0=0 y0=1$
Io mi sono calcolata la derivata prima di $f(x)$ e poi la derivata nel punto $x0$ siccome la derivata nel punto è = a 2 e quindi sempre diversa da 0 ho concluso ke è sicuramente invertibile nell'intorno $x0$ in quanto monotona.
e la derivata dell'inversa è venuta$ 1/(2xe^x^2+2cosx)$.
Va bene?
Poi ho sostituito $y0$ alle x dell'inversa.
è giusto??
p.s. e è elevato alla $x^2$ e non alla $2x$ ma nn so come scriverlo!
Risposte
no...non va bene. Credo che tu abbia usato il teorema che scritto nella notazione di leibniz appare come
$\frac{d}{d x} y^-1 = \frac{1}{dy / dx}$
con y = y(x) e $y^(-1) = y^(-1) (x)$ è intesa come la funzione inversa.
Forse la cosa sarebbe più chiara usando una notazione un po' più pesante ma più esplicita ovvero, se chiami y = f(x) allora $x = f^(-1) (y)$
$[\frac{d }{d y} f^(-1)]_(y = y_0) = [\frac{1}{f'(x)}]_(x = f^(-1) (y_0))$
dove le parentesi quadre con il pedice stanno per $[f(x)]_(x=t) = f(t)$
Prova così, dovrebbe tornare, se non funzia chiedi pure.
$\frac{d}{d x} y^-1 = \frac{1}{dy / dx}$
con y = y(x) e $y^(-1) = y^(-1) (x)$ è intesa come la funzione inversa.
Forse la cosa sarebbe più chiara usando una notazione un po' più pesante ma più esplicita ovvero, se chiami y = f(x) allora $x = f^(-1) (y)$
$[\frac{d }{d y} f^(-1)]_(y = y_0) = [\frac{1}{f'(x)}]_(x = f^(-1) (y_0))$
dove le parentesi quadre con il pedice stanno per $[f(x)]_(x=t) = f(t)$
Prova così, dovrebbe tornare, se non funzia chiedi pure.
scusa mi perdo un po'... me lo puoi fare usando l'esempio???
Ti spiego meglio. Quello che intendo è che se io ho una relazione del tipo y = f(x), come può essere il tuo caso, la funzione inversa (che almeno localmente esiste se $\partial_x f != 0$) è quella funzione g(x) tale che f[g(x)] = g[f(x)] = x (come esempio e^x e ln x perchè $e^(ln x) = x = ln (e^x)$) e siccome se la funzione inversa esiste è univocamente determinata dalla funzione diretta chiami simbolicamente $g(x) = f^(-1)(x)$.
Per calcolare la derivata di $f^(-1)$ considera appunto la relazione che la definisce
$f ( f^(-1) (x) ) = x$
derivala, a destra hai 1, a sinistra usi il teorema della derivata della funzione composta e ottieni
$f'(y)\|_(y=f^(-1) (x)) * \frac{d}{d x} [f^(-1) (x)] = 1$
e cioè
$\frac{d}{d x} [f^(-1) (x)] = \frac{1}{f'(y)} \|_(y=f^(-1) (x))$
Ok. Ti faccio un esempio.
Metti che y = sin x, quindi x = arc sin y. Adesso io mi chiedo quale sia la derivata di arc sin quindi dovrò fare
$\frac{d}{d x} [arc sin (x)] = \frac{1}{(sin y)'} \|_(y=arc sin (x)) = \frac{1}{cos y} \|_(y=arc sin (x))$
adesso sfrutti l'identità fondamentale della trigonometria $cos^y + sin^2 y = 1$ per ottenere
$\frac{d}{d x} [arc sin (x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2 y}} \|_(y=arc sin (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - [sin( arc sin (x))]^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2} $
nel tuo caso non devi neanche invertire le relazione perchè sai il valore delle coordinate del punto.
Per calcolare la derivata di $f^(-1)$ considera appunto la relazione che la definisce
$f ( f^(-1) (x) ) = x$
derivala, a destra hai 1, a sinistra usi il teorema della derivata della funzione composta e ottieni
$f'(y)\|_(y=f^(-1) (x)) * \frac{d}{d x} [f^(-1) (x)] = 1$
e cioè
$\frac{d}{d x} [f^(-1) (x)] = \frac{1}{f'(y)} \|_(y=f^(-1) (x))$
Ok. Ti faccio un esempio.
Metti che y = sin x, quindi x = arc sin y. Adesso io mi chiedo quale sia la derivata di arc sin quindi dovrò fare
$\frac{d}{d x} [arc sin (x)] = \frac{1}{(sin y)'} \|_(y=arc sin (x)) = \frac{1}{cos y} \|_(y=arc sin (x))$
adesso sfrutti l'identità fondamentale della trigonometria $cos^y + sin^2 y = 1$ per ottenere
$\frac{d}{d x} [arc sin (x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2 y}} \|_(y=arc sin (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 - [sin( arc sin (x))]^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2} $
nel tuo caso non devi neanche invertire le relazione perchè sai il valore delle coordinate del punto.
Ho capito il tuo ragionamento ma mi blocco nel mio caso specifico...
Mentre se hai $senx$ sai ke l'inversa è $arcsenx$ se ho $f(x)= e^(x^2)+2senx $ non so come arrivare all'inversa!!
Mentre se hai $senx$ sai ke l'inversa è $arcsenx$ se ho $f(x)= e^(x^2)+2senx $ non so come arrivare all'inversa!!
Secondo me, nel tuo caso consideriamo
$y= f(x) = e^(x^2) + 2 sin x$
quindi
$x = f^(-1) (y) $
vogliamo calcolare la derivata della funzione inversa nel punto y = 1, cioè
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] ]_(y=1)$
il teorema ci dice che
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] \frac{}{}]_(y=1) = \frac{1}{f'(x)} ]_(x = f^(-1) (1)) = \frac{1}{2 x e^(x^2) + 2 cos x}]_(x = f^(-1) (1))$
per calcolare il valore di x da sostituire nell'ultimo passaggio, devi invertire f nel punto y_0 = 1, cioè trovare quella $x_0$ che stia in un intorno di 0, perchè sai che puoi invertirla siccome $f'(0) != 0$, tale che $f(x_0) = 1$. Quel valore è proprio $x_0 = 0$. Quindi
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] \frac{}{}]_(y=1) = \frac{1}{2 x e^(x^2) + 2 cos x}]_(x = 0) = \frac{1}{2}$
$y= f(x) = e^(x^2) + 2 sin x$
quindi
$x = f^(-1) (y) $
vogliamo calcolare la derivata della funzione inversa nel punto y = 1, cioè
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] ]_(y=1)$
il teorema ci dice che
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] \frac{}{}]_(y=1) = \frac{1}{f'(x)} ]_(x = f^(-1) (1)) = \frac{1}{2 x e^(x^2) + 2 cos x}]_(x = f^(-1) (1))$
per calcolare il valore di x da sostituire nell'ultimo passaggio, devi invertire f nel punto y_0 = 1, cioè trovare quella $x_0$ che stia in un intorno di 0, perchè sai che puoi invertirla siccome $f'(0) != 0$, tale che $f(x_0) = 1$. Quel valore è proprio $x_0 = 0$. Quindi
$ \frac{d} {d y} [f^(-1) (y)] \frac{}{}]_(y=1) = \frac{1}{2 x e^(x^2) + 2 cos x}]_(x = 0) = \frac{1}{2}$
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