Funzione invertibile

[maria601]

Per dimostrare che la funzione $ y=e^(x^2-2x) $ è invertibile per x>0 ho fatto il grafico, deducendo che è monotona, ma ci sarebbe un altro procedimento ? grazie

[gugo82]

"maria60":Per dimostrare che la funzione $y=e^(x^2-2x)$ è invertibile per $x > 0$ ho fatto il grafico, deducendo che è monotona [...]

Sicura?
[asvg]xmin=0; xmax=4; ymin=0; ymax=4;
axes("","");
plot("exp(x^2 - 2x)",0,5);[/asvg]

[Howard_Wolowitz]

Il procedimento da seguire è quello di dimistrare la monotonia algebricamente ovvero senza disegnare il grafico della funzione.
La monotonia di una funzione in un intervallo si dimostra dacendo la derivata prima di tale funzione ovvero:
[tex]\frac{d}{dx}e^{x^2-2x}=e^{x^2-2x}(2x-2)=2(x-1)e^{x^2-2x}[/tex]
pertanto si deduce dallo studio della derivata prima che tale funzione si annulla per [tex]x=1[/tex], punto critico, ed è crescente per [tex]x>1[/tex] e decresente per [tex]x<1[/tex], essa è quindi monotona in tali intervalli, pertanto abbiamo che la monotonia in un intervallo implica la biunivocità e l'invertibilità della funzione stessa in quel determinato intervallo.
Quindi al fine di rendere invertibile tale funzione è utile ridefinire la funzione come [tex]F(x)=e^{x^2-2x} \Leftrightarrow x>1[/tex] in modo da rendere la stessa biunivoca ed invertibile per il domino scelto, in questo caso [tex]x>1[/tex].

[maria601]

Si, ho sbagliato.... Si può dimostrare senza utilizzare le derivate ?

[Howard_Wolowitz]

No, non è dimostrabile in quanto la funzione di persè non è biunivoca ed invertibile in quanto non monotona nell'intero dominio di definizione. Come da me scritto in precedenza, risulta invertibile la ridefinizione della funzione suddetta in una restrizione del suo dominio, minore o maggiore di 1 il tutto quindi a discrezione dell'obbiettivo dell'esercizio.
Ad eccezione di questo caso, è però possibile dimostrare l'invertibilità o la non invertibilità di una funzione nell'intero intervallo di definizione sfruttando la definizione di biunivocità di una funzione ovvero: una funzione è biunivoca se [tex]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/tex] o se equivalentemente a valori diversi del dominio corrispondono valori diversi del codominio.

[ciampax]

@Howard: ti faccio presente che per dimostrare che la funzione non è invertibile da qualche parte basta far vedere che non è iniettiva, e questo equivale a dire che deve essere $f(x_1)=f(x_2)$ per qualche $x_1\ne x_2$. Ora, scrivendo l'equazione si ottiene $e^{x_1^2-2x_1}=e^{x_2^2-2x_2}$ da cui $x_1^2-2x_1=x_2^2-2x_2$ e ancora, semplificando e raccogliendo, $(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=0$. Ovviamente, $x_1-x_2=0$ non conduce a niente, ma $x_1+x_2-2=0$ ci dice che la funzione ammette valori uguali ogniqualvolta scegliamo $x_2=2-x_1$. Pertanto si vede subito che, scelto $0

[dissonance]

"Howard_Wolowitz": una funzione è biunivoca se [tex]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/tex] o se equivalentemente a valori diversi del dominio corrispondono valori diversi del codominio.

Questa è la definizione di applicazione ingettiva. Biunivoca o Bigettiva è una applicazione simultaneamente ingettiva e surgettiva. Per favore fai più attenzione quando scrivi una definizione perché rischi seriamente di creare grave confusione negli utenti più inesperti.

Grazie.