Funzione Invertibile
Salve ragazzi, sono fermo con questo esercizio, qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi cosa dovrei fare per risolverlo?
Sia data la funzione reale di variabile reale definita dalla legge
$ f(x) = π^x + log_3 (x^4+10) $
a) Provare che $ f $ è invertibile nell’intervallo ]0, +∞[
b) Determinare l’insieme di definizione della funzione inversa $ f^(−1) $ di $ f $ nell’intervallo ]0, +∞[
c) Calcolare, se esiste, $ (f^-1)'(π+log_3(11)) $
I miei problemi sono:
a) Non so proprio come devo agire, solitamente in questi casi studio il segno della funzione, ma questa è sempre positiva per ogni x in R, figuriamoci per x positiva, allora che devo fare? Dimostrare che è biettiva? Come?
b) In che senso?
c) Qui devo trovare $ x_0 $ e poi applicare l'invertibilità della funzione derivata, giusto?
Sia data la funzione reale di variabile reale definita dalla legge
$ f(x) = π^x + log_3 (x^4+10) $
a) Provare che $ f $ è invertibile nell’intervallo ]0, +∞[
b) Determinare l’insieme di definizione della funzione inversa $ f^(−1) $ di $ f $ nell’intervallo ]0, +∞[
c) Calcolare, se esiste, $ (f^-1)'(π+log_3(11)) $
I miei problemi sono:
a) Non so proprio come devo agire, solitamente in questi casi studio il segno della funzione, ma questa è sempre positiva per ogni x in R, figuriamoci per x positiva, allora che devo fare? Dimostrare che è biettiva? Come?
b) In che senso?
c) Qui devo trovare $ x_0 $ e poi applicare l'invertibilità della funzione derivata, giusto?
Risposte
Ciao,
Data la funzione
La derivata prima è
si può notare che
Per quanto appena detto e per il teorema dei valori intermedi si ha che
Posto $g=f^(-1): D_g=(1+log_3 10; +oo) -> C_g=(0,+oo)$
Per il teorema della derivata della funzione inversa si ha che che $g$ è derivabile e si ha
Inoltre, poiché
si ottiene che
Data la funzione
$ f(x) = π^x + log_3 (x^4+10), AA x in (0, +oo) $
La derivata prima è
$f'(x)=pi^x*ln pi+(4x^3)/((x^4+10)*ln3)$
si può notare che
$f'(x)>0 AA x in (0, +oo)$ allora $f$ è strettamente crescente in $(0,+oo)$ e quindi ivi invertibile!
Per quanto appena detto e per il teorema dei valori intermedi si ha che
$C_f=(lim_(x->0^+) f(x), lim_(x->+oo) f(x))=(1+log_3 10; +oo)$.
Posto $g=f^(-1): D_g=(1+log_3 10; +oo) -> C_g=(0,+oo)$
Per il teorema della derivata della funzione inversa si ha che che $g$ è derivabile e si ha
$g(y)=1/(f'(x))=1/(pi^x*ln pi+(4x^3)/((x^4+10)*ln3))$
Inoltre, poiché
$ π+log_3(11)= π^x + log_3 (x^4+10) hArr x=1 $
si ottiene che
$g(π+log_3(11))=1/(f'(1))=1/(pi*ln pi +4/(11*ln3))$
Ciao, anzitutto grazie mille per avermi risposto ed essere stato così preciso, grazie davvero, c'è una cosa di quello che hai fatto che però non ho capito ed è la seguente:
"Per quanto appena detto e per il teorema dei valori intermedi si ha che
Posto $g=f^(-1): D_g=(1+log_3 10; +oo) -> C_g=(0,+oo)$"
Mi sembra di aver capito che con $ C_f $ hai trovato le immagini della funzione per x da $ 0 $ a $ +infty $ e quindi il dominio della sua inversa. Ma $ C_g $ ? Lo hai trovato semplicemente dal dominio di $ f $ ? Ho capito bene?
"Per quanto appena detto e per il teorema dei valori intermedi si ha che
$C_f=(lim_(x->0^+) f(x), lim_(x->+oo) f(x))=(1+log_3 10; +oo)$.
Posto $g=f^(-1): D_g=(1+log_3 10; +oo) -> C_g=(0,+oo)$"
Mi sembra di aver capito che con $ C_f $ hai trovato le immagini della funzione per x da $ 0 $ a $ +infty $ e quindi il dominio della sua inversa. Ma $ C_g $ ? Lo hai trovato semplicemente dal dominio di $ f $ ? Ho capito bene?
"The Unborn":
Mi sembra di aver capito che con $ C_f $ hai trovato le immagini della funzione per x da $ 0 $ a $ +infty $ e quindi il dominio della sua inversa. Ma $ C_g $ ? Lo hai trovato semplicemente dal dominio di $ f $ ? Ho capito bene?
Data una funzione invertibile
$f: D_f -> C_f$
Allora l'inversa di $f$
$f^(-1): C_f -> D_f$
cioè avrà per dominio il codominio di $f$ e per codominio il dominio di $f$.
Ok, perfetto, grazie mille!!!! 
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