Funzione invertibile (?)

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10 nov 2014, 15:35

Sia $ f(x)=-log(x-1) $ ; determinare $ f^-1([0,+oo ) $ e $ f^-1((-oo ,-1]) $ .

Questa è la richiesta. Ora, io non ho minamente capito che cosa chiede l'esercizio (forse perché non ho chiaro il concetto di funzione invertibile, se si tratta di ciò). Non voglio nessun tipo di soluzione, a quella ci devo arrivare io, ma vorrei sapere almeno come cominciare a ragionare.
Ho provato a disegnare il grafico indicativo della funzione e ho verificato che fosse sia iniettiva (lo è, se traccio delle rette parallele all'asse x queste intersecano una sola volta la funzione) sia suriettiva (lo è se restringo il dominio a $ (1,2] $ ). Ma oltre questo non so che cosa fare.

Risposte

axpgn

10 nov 2014, 14:44

Se hai disegnato il grafico hai già la risposta

Ricorda che data una funzione $y=f(x)$ il dominio è un intervallo sull'asse delle ascisse (che potrebbe anche coincidere con l'intera retta) mentre il codominio (e ovviamente anche l'immagine di $f$) è un intervallo sull'asse delle ordinate; perciò quando si parla dell'inversa dove saranno domino, codominio e immagine ?

Cordialmente, Alex

_Daniele_

10 nov 2014, 15:36

"axpgn":
Se hai disegnato il grafico hai già la risposta
Ricorda che data una funzione $y=f(x)$ il dominio è un intervallo sull'asse delle ascisse (che potrebbe anche coincidere con l'intera retta) mentre il codominio (e ovviamente anche l'immagine di $f$) è un intervallo sull'asse delle ordinate; perciò quando si parla dell'inversa dove saranno domino, codominio e immagine ?

Cordialmente, Alex

Allora l'esercizio mi chiede di trovare il dominio e l'immagine di $ y=f(x) $ e dominio e immagine di $ x=f(y) $ ?
Comunque, per $ y=f(x) $ abbiamo:
-il dominio della funzione è $ (1,+oo ) $
-l'immagine ha intervallo $ (0,+oo ) $ se restringo il dominio della funzione a $ (1,2] $ . Giusto?

Per la funzione inversa vado in confusione

axpgn

10 nov 2014, 15:49

L'esercizio ti chiede di trovare l'immagine dell'inversa quando ha come domini quei due intervalli.

Per quanto riguarda la funzione hai detto giusto (devi solo comprendere anche lo zero nell'immagine).
Per l'inversa, col grafico non vedo problemi, basta ruotarlo di 90° e sei a posto (beh, quasi ... o inverti la destra con la sinistra o lo guardi da dietro ...

)

Cordialmente, Alex

_Daniele_

10 nov 2014, 18:10

"axpgn":
L'esercizio ti chiede di trovare l'immagine dell'inversa quando ha come domini quei due intervalli.

Per quanto riguarda la funzione hai detto giusto (devi solo comprendere anche lo zero nell'immagine).
Per l'inversa, col grafico non vedo problemi, basta ruotarlo di 90° e sei a posto (beh, quasi ... o inverti la destra con la sinistra o lo guardi da dietro ... )

Cordialmente, Alex

Dopo aver preso una pausa c'ho ragionato sopra e la richiesta l'ho capita. Credo di aver capito anche come ragionare ma la soluzione che ha scritto il libro mi lascia un po' perplesso:

$ f^-1([0,+oo ))=(1,2] $ (ok) e $ f^-1((-oo,-1])=[e+1,+oo) $ non capisco da dove salti fuori $ (e+1) $