Funzione invertibile

[kika_17]

Ciao, non ho capito come si risolve questo esercizio:
"Determinare per quali valori dei parametri reali a e b la funzione f(x) è invertibile su tutto $RR$"
$f(x) ={(1+ax^2,if x<=0),(b+x^3,if x>0):}$
Qualcuno me lo spiega per favore? Grazie

[Noisemaker]

be dovresti far veder che la funzione è iniettiva, o equivalentemente che risulti strettamente monotona ... Direi che ad occhio, considerando i grafici dei due rami di funzione, si può concludere senza fare alcun conto .

[kika_17]

scusa ma così non mi sei molto d'aiuto, potresti spiegarti meglio?

[Noisemaker]

scusa, ma quando una funzione è invertibile?

[kika_17]

una funzione è invertibile quando è biunivoca

[Noisemaker]

Si, ovvero quando risuta iniettiva e surrietiva; ma anche una funzione strettamente monotona è invertibile, e nel tuo esercizio forse è più utile questa definizione per fare i calcoli.

[kika_17]

quindi devo calcolare il limite dx e sx della f(x) ... ?

[Noisemaker]

Convine fare alcune considerazioni preliminari:

[*:3aanwk4g] la funzione definita per $x\le0$ è una parabola con vertice nel punto $(0;1)$ e che volge concavità verso l'alto o verso il basso a secvonda del valore di $a;$[/*:m:3aanwk4g]
[*:3aanwk4g] la funzione definita per $x>0$ è una cubuca che si sposta sull'asse $y$ a seconda del valore che assume $b.$[/*:m:3aanwk4g][/list:u:3aanwk4g]
Inoltre, si verifica facilmente che la funzione $f$ risulta continua per $b=1.$ Conviene quindi distiguere i vari casi e aiutarsi con un grafico, vista la semplicità delle funzioni in gioco,:


[*:3aanwk4g] se $a>0$ e $ b=1$ abbiamo una rappresentazione grafica del tipo seguente

e dunqie è evidente che la funzione in tal caso non può essere invertibile non essendo iniettiva;[/*:m:3aanwk4g]
[*:3aanwk4g] se $a>0$ e $ b>1$ abbiamo una rappresentazione grafica del tipo seguente:

in questo caso è evidente che la funzione non è invertibile in quanto anche in questo caso non è iniettva;[/*:m:3aanwk4g][/list:u:3aanwk4g]
per gli altri casi prova a vedere se riesci a concludere tu:


[*:3aanwk4g] se $a>0$ e $ b<1$[/*:m:3aanwk4g]
[*:3aanwk4g] se $a<0$ e $ b<1$[/*:m:3aanwk4g]
[*:3aanwk4g] se $a<0$ e $ b=1$[/*:m:3aanwk4g]
[*:3aanwk4g] se $a<0$ e $ b>1$[/*:m:3aanwk4g][/list:u:3aanwk4g]

[kika_17]

credo che sia, a<0 e b>=1

Grazie mille