Funzione inversa su diversi intervalli
Ciao a tutti, ho studiato la seguente funzione :
$ F(x)=(x^2-1)/(x)$
Ho disegnato il grafico.
Ora viene richiesto di determinare l’inversa di f su (−∞, −1), (−1, 1) e (1 + ∞).
Onestamente sono bloccato. Nel secondo intervallo la funzione è iniettiva ma non suriettiva. Sugli altri non so come iniziare.
Ho ricavato la funzione inversa :
$ F^-1(x)=1/2(y+-(y^2+4)^(1/2)) $
Nel primo intervallo scelgo la soluzione negativa nel terzo la positiva. Ma non riesco ad inquadrare il caso con (-1,1)
$ F(x)=(x^2-1)/(x)$
Ho disegnato il grafico.
Ora viene richiesto di determinare l’inversa di f su (−∞, −1), (−1, 1) e (1 + ∞).
Onestamente sono bloccato. Nel secondo intervallo la funzione è iniettiva ma non suriettiva. Sugli altri non so come iniziare.
Ho ricavato la funzione inversa :
$ F^-1(x)=1/2(y+-(y^2+4)^(1/2)) $
Nel primo intervallo scelgo la soluzione negativa nel terzo la positiva. Ma non riesco ad inquadrare il caso con (-1,1)
Risposte
Ciao Ecomath,
Vedo degli errori...
Si ha:
$ y = F(x)=(x^2+1)/x \implies x^2 - xy + 1 = 0 $
L'ultima equazione scritta ha soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 - 4}) $
Vedo degli errori...
Si ha:
$ y = F(x)=(x^2+1)/x \implies x^2 - xy + 1 = 0 $
L'ultima equazione scritta ha soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 - 4}) $
Chiedo scusa, ho sbagliato a scrivere la funzione al numeratore. Ho corretto nel primo messaggio.
Non riesco ad interpretare l'intervallo (-1,1).
Non riesco ad interpretare l'intervallo (-1,1).
Ci sono ancora errori... 
Le soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 - 4}) $ esistono se $y^2 - 4 >= 0 \iff y <= - 2 \vv y >= 2 $
Per $y = - 2 \implies x = -1 $ la funzione $F(x) $ ha un punto di massimo $M(-1, -2) $, per $y = 2 \implies x = 1 $ la funzione $F(x) $ ha un punto di minimo $L(1, 2) $
Le soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 - 4}) $ esistono se $y^2 - 4 >= 0 \iff y <= - 2 \vv y >= 2 $
Per $y = - 2 \implies x = -1 $ la funzione $F(x) $ ha un punto di massimo $M(-1, -2) $, per $y = 2 \implies x = 1 $ la funzione $F(x) $ ha un punto di minimo $L(1, 2) $
Innanzitutto grazie per l'aiuto.
Riprovo un attimo con la funzione scritta correttamente
$ y = F(x)=(x^2-1)/x \implies x^2 - xy - 1 = 0 $
L' equazione scritta ha soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 + 4}) $
Le soluzioni esistono se Il radicando è >=0. In questo caso è sempre verificato.
Riprovo un attimo con la funzione scritta correttamente
$ y = F(x)=(x^2-1)/x \implies x^2 - xy - 1 = 0 $
L' equazione scritta ha soluzioni $ x_{1,2} = 1/2 (y \pm sqrt{y^2 + 4}) $
Le soluzioni esistono se Il radicando è >=0. In questo caso è sempre verificato.
Vi sembra corretto?
Ho omesso il cambiamento di variabile nel passaggio conclusivo. Tuttavia studiando le due soluzioni noto che la prima è sempre positiva mentre la seconda è sempre negativa e riesco a disegnare.
F è invertibile negli intervalli (−∞, −1) e (1 + ∞) in cui la funzione F è monotona mentre non è monotona in (−1, 1) di conseguenza non invertibile.
F è invertibile negli intervalli (−∞, −1) e (1 + ∞) in cui la funzione F è monotona mentre non è monotona in (−1, 1) di conseguenza non invertibile.
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