Funzione inversa "molto tosta"
Salve signori, ero alle prese nel calcolare un po' di funzioni inverse.
Ad un certo punto trovo una funzione (proposta in sede d'esame in un'Università di Ingegneria), in cui viene chiesto di calcolare l'inversa della seguente funzione:
$ f(x) = sqrt(log_3((cos(2x)+1)/(senx)-1))*arcsen(2^(1-senx)) $
Ad un primo approccio mi sembra davvero molto difficile.
Qualcuno potrebbe darmi una mano a capire come impostare la risoluzione?
Grazie, a presto.
Ad un certo punto trovo una funzione (proposta in sede d'esame in un'Università di Ingegneria), in cui viene chiesto di calcolare l'inversa della seguente funzione:
$ f(x) = sqrt(log_3((cos(2x)+1)/(senx)-1))*arcsen(2^(1-senx)) $
Ad un primo approccio mi sembra davvero molto difficile.
Qualcuno potrebbe darmi una mano a capire come impostare la risoluzione?
Grazie, a presto.
Risposte
Hai provato a determinare il dominio di $f (x) $ 
?
?
"Palliit":
Hai provato a determinare il dominio di $f (x) $
Fino ad ora ho sempre calcolato l'inversa algebricamente, ma in questo caso mi sembra abbastanza complicato.
Anche all'uni mi è stato consigliato di sfuggita di procedere col calcolo del dominio, ma non ho avuto modo di approfondire il discorso.
La traccia dice di calcolare $ f^(-1)(x) $ in [0, +infinito)
Qual è il procedimento che mi hai consigliato?
Mi faresti davvero un enorme piacere levandomi questo dubbio!
Intanto una considerazione a prescindere dal seguito: esplicitare la variabile $x$ nell'equazione proposta pare ad occhio impossibile, il che fa pensare che ci sia sotto qualche inghippo.
Tra le richieste da fare per determinare il dominio della funzione vi è quella che riguarda l'argomento dell'arco seno: mentre è garantito che sia positivo, dev'essere:
il che è possibile soltanto quando: $x=pi/2+2kpi$.
Peccato che se sostituisci tali valori nel resto dell'espressione, l'argomento del logaritmo risulta negativo. Ne segue che il dominio di $f$ è vuoto. Pertanto quella di invertirla è una richiesta oziosa ovvero, se preferisci, un trabocchetto.
Tra le richieste da fare per determinare il dominio della funzione vi è quella che riguarda l'argomento dell'arco seno: mentre è garantito che sia positivo, dev'essere:
$2^(1-sinx)<=1" "to" "1-sinx<=0" "to" "sinx>=1" "$,
il che è possibile soltanto quando: $x=pi/2+2kpi$.
Peccato che se sostituisci tali valori nel resto dell'espressione, l'argomento del logaritmo risulta negativo. Ne segue che il dominio di $f$ è vuoto. Pertanto quella di invertirla è una richiesta oziosa ovvero, se preferisci, un trabocchetto.
"Palliit":
Pertanto quella di invertirla è una richiesta oziosa ovvero, se preferisci, un trabocchetto.
Quindi alla fine era solo un pretesto per verificarne l'insieme di definizione?
E se invece non fossi giunto ad una soluzione del genere facendo il dominio?
Esempio:
$ sqrt( log_(1/3) (cos^2x+2cosx+1))*arcsen((senx)/(sqrt2 - senx)) $
In questo caso il dominio dell'arcseno non riconduce ad un unico valore assumibile da x, ma ad un intervallo. Cosa ne dovrei dedurre?
Qual è la consegna? Determinare il dominio o invertire la funzione? E' un esempio che hai prodotto tu o è un esercizio preso da qualche testo?
"Palliit":
Qual è la consegna?
L'ho preso da una dispensa, la consegna è
"Data la funzione...."
"Determinare
$ f^-1([0,+oo)) $
$Im (f^(-1))=Dom(f)$. L'esercizio chiede di determinare il sottoinsieme del dominio in cui la funzione risulta non negativa, se non mi sbaglio.
"Palliit":
$Im (f^(-1))=Dom(f)$. L'esercizio chiede di determinare il sottoinsieme del dominio in cui la funzione risulta non negativa, se non mi sbaglio.
Quindi, dovrei vedere in quale intervalli è positiva la funzione, e verificare che questi intervalli siano compresi in quello indicato?
(positiva o nulla)
"Palliit":
:smt023 (positiva o nulla)
Perfetto, grazie mille!
"Palliit":
:smt023 (positiva o nulla)
scusate se mi inserisco nella discussione.
sono interessato anche io a capire la risoluzione di questo esercizio..
da quello che ho capito quindi bisogno prendere al funzione e porla maggiore o uguale di 0, giusto?
quindi c'è da studiare il caso in cui radice e arcseno sono contemporaneamente maggiori di 0 ed il caso in cui sono minori di 0?
"mkthlmb":
...il caso in cui sono minori di 0?
La radice (in $RR$) non può risultare negativa.
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